5-38 Calcule a integral.
{\int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right) d x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de (1 - x^{2}) de 0 até 1. O conteúdo envolvido é o cálculo de primitivas (antiderivadas) e aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo para obter o valor numérico da integral.

Passo 2

Para usar o Teorema Fundamental do Cálculo, primeiro encontramos uma primitiva F(x) de f(x)=1 - x^{2}. Usamos a regra da soma e a regra da potência:
\int 1\,dx = x,
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
Portanto, uma primitiva é
F(x) = x - \frac{x^{3}}{3}.

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{0}^{1} \bigl(1 - x^{2}\bigr)\,dx = F(1) - F(0).
Calculando,
F(1) = 1 - \frac{1^{3}}{3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}, \quad F(0) = 0 - 0 = 0.
Logo,
\int_{0}^{1} \bigl(1 - x^{2}\bigr)\,dx = \frac{2}{3}.

Resposta

\frac{2}{3}

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