5-38 Calcule a integral.
{\int_{0}^{2}\left(x^{2}-8 x+7\right) d x}

Passo 1

O enunciado pede a integral definida de um polinômio em [0,2]:
\int_{0}^{2}\bigl(x^{2}-8x+7\bigr)\,dx
O conteúdo é cálculo de integral de polinômio usando antiderivada e o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Vamos achar a antiderivada F(x) de f(x)=x^{2}-8x+7. Para cada termo: \int x^{2}\,dx = \tfrac{x^{3}}{3}, \int -8x\,dx = -8\cdot\tfrac{x^{2}}{2} = -4x^{2}, \int 7\,dx = 7x.
Logo,
F(x) = \frac{x^{3}}{3} \;-\;4x^{2}\;+\;7x.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{2} f(x)\,dx = F(2) - F(0).

Passo 4

Calculemos F(2) e F(0):
F(2) = \frac{2^{3}}{3} - 4\cdot2^{2} + 7\cdot2 = \frac{8}{3} - 16 + 14 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{8-6}{3} = \frac{2}{3},
F(0) = \frac{0^{3}}{3} - 4\cdot0^{2} + 7\cdot0 = 0.

Resposta

\int_{0}^{2}\bigl(x^{2}-8x+7\bigr)\,dx = \frac{2}{3}.

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