Calcule:
\frac{d}{d x} \int_{0}^{n} e^{-x } d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\frac{d}{dx}\int_{0}^{n} e^{-x t}\,dt,
onde n é constante. O que vamos usar é: primeiro, calcular a integral em t em função de x; segundo, aplicar a derivada em x (regra do quociente).

Passo 2

Calcular a antiderivada em t:
Para x\neq 0,
\int_{0}^{n} e^{-x t}\,dt = \Bigl[-\frac{1}{x}e^{-x t}\Bigr]_{0}^{n} = -\frac{1}{x}e^{-x n} -\bigl(-\frac{1}{x}e^{0}\bigr) = \frac{1 - e^{-x n}}{x}.

Passo 3

Definir
f(x)=\frac{1 - e^{-x n}}{x}
e usar a regra do quociente:
f'(x) =\frac{\bigl[0 -(-n)e^{-x n}\bigr]\cdot x - (1 - e^{-x n})\cdot 1}{x^2} =\frac{n x\,e^{-x n} -1 + e^{-x n}}{x^2}.

Passo 4

Reorganizar o numerador:
n x\,e^{-x n} + e^{-x n} -1 = e^{-x n}(n x +1) -1.
Logo
f'(x) =\frac{e^{-x n}(1 + n x) -1}{x^2}.

Resposta

\frac{d}{dx}\int_{0}^{n} e^{-x t}\,dt =\frac{e^{-x n}(1 + n x) -1}{x^2}.

Exercícios relacionados