5-38 Calcule a integral. {\int_{0}^{3}\left|x^{2}-4\right| d x}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de uma função com valor absoluto, ou seja
\int_{0}^{3}\bigl|x^{2}-4\bigr|\,dx.
Para resolver isso, vamos usar que \lvert f(x)\rvert exige analisar onde f(x) muda de sinal e depois “quebrar” a integral nesses pontos.
Passo 2
Encontramos os zeros de x^{2}-4 resolvendo
x^{2}-4=0\quad\Longrightarrow\quad x=\pm2.
No intervalo de integração [0,3], o ponto relevante é x=2. Para 0\le x<2 temos x^{2}-4<0, logo \lvert x^{2}-4\rvert=4-x^{2}. Para 2\le x\le3 temos x^{2}-4\ge0, então \lvert x^{2}-4\rvert=x^{2}-4.