5-38 Calcule a integral.
32. {\int_{0}^{2}|\sqrt{x}-1| d x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{2}\bigl|\sqrt{x}-1\bigr|\,dx.
O conteúdo aqui é integração de valor absoluto. Para resolver, a gente identifica onde o argumento da função absoluta muda de sinal, divide o intervalo nesse ponto e calcula duas integrais de potências.

Passo 2

A condição \sqrt{x}-1=0 ocorre quando \sqrt{x}=1, ou seja, x=1.
Para 0\le x\le1 tem \sqrt{x}-1\le0, logo \bigl|\sqrt{x}-1\bigr|=1-\sqrt{x}.
Para 1\le x\le2 tem \sqrt{x}-1\ge0, logo \bigl|\sqrt{x}-1\bigr|=\sqrt{x}-1.
Assim
\int_{0}^{2}\bigl|\sqrt{x}-1\bigr|\,dx =\int_{0}^{1}(1-\sqrt{x})\,dx +\int_{1}^{2}(\sqrt{x}-1)\,dx.

Passo 3

Calcular a primeira parte:
\int_{0}^{1}(1-\sqrt{x})\,dx =\int_{0}^{1}1\,dx-\int_{0}^{1}x^{\tfrac12}\,dx =\Bigl[x\Bigr]_{0}^{1}-\Bigl[\tfrac{2}{3}x^{\tfrac{3}{2}}\Bigr]_{0}^{1} =1-\tfrac{2}{3} =\tfrac{1}{3}.

Passo 4

Calcular a segunda parte:
\int_{1}^{2}(\sqrt{x}-1)\,dx =\int_{1}^{2}x^{\tfrac12}\,dx-\int_{1}^{2}1\,dx =\Bigl[\tfrac{2}{3}x^{\tfrac{3}{2}}\Bigr]_{1}^{2}-\Bigl[x\Bigr]_{1}^{2} =\bigl(\tfrac{2}{3}\cdot2^{\tfrac{3}{2}}-\tfrac{2}{3}\bigr)-(2-1).
Como 2^{3/2}=2\sqrt{2}, isso fica
\frac{4\sqrt{2}}{3}-\frac{2}{3}-1 =\frac{4\sqrt{2}-2-3}{3} =\frac{4\sqrt{2}-5}{3}.

Passo 5

Somando as duas partes:
\tfrac{1}{3}+\frac{4\sqrt{2}-5}{3} =\frac{1+4\sqrt{2}-5}{3} =\frac{4\sqrt{2}-4}{3} =\frac{4(\sqrt{2}-1)}{3}.

Resposta

\frac{4(\sqrt{2}-1)}{3}.

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