5-38 Calcule a integral.
{\int_{0}^{n} \frac{e^{x}}{1+e^{2 x}} d x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
I = \int_{0}^{n} \frac{e^{x}}{1+e^{2x}} \, dx.
O conteúdo principal aqui é mudança de variável (substituição) e uso da primitiva
\int \frac{1}{1+u^{2}}\,du = \arctan(u) + C.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = e^{x} \quad\Longrightarrow\quad du = e^{x}\,dx.
Quando x=0, u=e^{0}=1. Quando x=n, u=e^{n}. Assim a integral vira
I = \int_{u=1}^{u=e^{n}} \frac{1}{1+u^{2}}\,du.

Passo 3

Sabendo que
\int \frac{1}{1+u^{2}}\,du = \arctan(u),
temos
I = \Bigl[\arctan(u)\Bigr]_{1}^{e^{n}} = \arctan\bigl(e^{n}\bigr) - \arctan(1).
E como \arctan(1)=\tfrac{\pi}{4}, concluímos:

Resposta

\int_{0}^{n} \frac{e^{x}}{1+e^{2x}}\,dx = \arctan\bigl(e^{n}\bigr) \;-\;\frac{\pi}{4}.

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