5-38 Calcule a integral.
{\int \frac{e^{x^{4}}}{\sqrt{x}} d x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I=\int \frac{e^{x^{4}}}{\sqrt{x}}\,dx.
Este é um caso de integral envolvendo e^{x^{n}} e uma potência de x. Não existe primitiva elementar em termos de funções usuais, mas podemos obter uma representação em série e reconhecer uma função hipergeométrica confluent.

Passo 2

Começamos expandindo e^{x^{4}} em série de potências:
e^{x^{4}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x^{4})^{n}}{n!} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n}}{n!}.
Logo
\frac{e^{x^{4}}}{\sqrt{x}} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n}}{n!}\;x^{-\tfrac12} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n-\tfrac12}}{n!}.

Passo 3

Integramos termo a termo:
I =\int\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n-\tfrac12}}{n!}\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\int x^{4n-\tfrac12}\,dx.
Para cada n,
\int x^{4n-\tfrac12}\,dx =\frac{x^{4n+\tfrac12}}{4n+\tfrac12} =\frac{2\,x^{4n+\tfrac12}}{8n+1}.
Assim
I =2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n+\tfrac12}}{(8n+1)\,n!}+C.

Passo 4

Observe que a série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n}}{(8n+1)\,n!}
pode ser reconhecida como a função confluent hypergeometric {}_1F_{1}\bigl(\tfrac18;\tfrac98;x^{4}\bigr), pois por definição
{}_1F_{1}\bigl(a;b;z\bigr) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_{n}}{(b)_{n}}\;\frac{z^{n}}{n!}
e vale a relação
\frac{(1/8)_{n}}{(9/8)_{n}} =\frac{1}{8n+1}.

Passo 5

Logo podemos reescrever
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n}}{(8n+1)\,n!} =\;{}_1F_{1}\!\bigl(\tfrac18;\tfrac98;x^{4}\bigr).
Logo a primitiva fica
I =2\,x^{\tfrac12}\; {}_1F_{1}\!\bigl(\tfrac18;\tfrac98;x^{4}\bigr)+C.

Resposta

\boxed{% \int \frac{e^{x^{4}}}{\sqrt{x}}\,dx =2\sqrt{x}\;{}_1F_{1}\!\Bigl(\tfrac18;\tfrac98;x^{4}\Bigr)+C. }

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