5-38 Calcule a integral.
{\int\left(\frac{1-x}{x}\right)^{2} d x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int\!\Bigl(\frac{1 - x}{x}\Bigr)^{2}\,dx.
O conteúdo envolvido é simplificar a expressão algébrica e usar as regras de integração de potências e do logaritmo natural.

Passo 2

Vamos expandir e decompor em termos mais simples:
\Bigl(\frac{1 - x}{x}\Bigr)^{2} = \frac{(1 - x)^{2}}{x^{2}} = \frac{1 - 2x + x^{2}}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \;-\; \frac{2}{x} \;+\; 1.

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
\int \frac{1}{x^{2}}\,dx = \int x^{-2}\,dx = -\,x^{-1} = -\,\frac{1}{x},
\int \Bigl(-\frac{2}{x}\Bigr)\,dx = -2\int x^{-1}\,dx = -2\,\ln\lvert x\rvert,
\int 1\,dx = x.

Passo 4

Somando os resultados e acrescentando a constante de integração C:
\int\!\Bigl(\frac{1 - x}{x}\Bigr)^{2}\,dx = -\,\frac{1}{x} \;-\; 2\,\ln\lvert x\rvert \;+\; x \;+\; C.

Resposta

-\,\frac{1}{x} \;-\; 2\,\ln\lvert x\rvert \;+\; x \;+\; C

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