5-38 Calcule a integral. {\int_{1}^{\infty} \frac{x}{x^{2}-4} d x}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria \displaystyle \int_{1}^{\infty}\frac{x}{x^{2}-4}\,dx.
O conteúdo aqui envolve integrais impróprias com duas fontes de possível divergência:
singularidade em x=2 (denominador zero),
limite superior infinito.
Para resolver, vamos (i) achar a primitiva de \frac{x}{x^2-4}, (ii) dividir a integral em dois trechos em torno de x=2, (iii) examinar os limites para verificar convergência.
Passo 2
Usamos a substituição
u = x^2 - 4,\quad du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Logo a primitiva é
\int \frac{x}{x^2-4}\,dx = \frac12\int \frac{du}{u} = \frac12\ln\bigl|u\bigr| + C = \frac12\ln\bigl|x^2-4\bigr| + C.
Passo 3
Como x=2 está no interior do intervalo [1,\infty), dividimos
Para s\to2^+, \ln(s^2-4)\to -\infty e para R\to\infty, \ln(R^2-4)\sim2\ln R\to+\infty.
Portanto \displaystyle \lim_{s\to2^+}\int_{s}^{\infty}\frac{x}{x^2-4}\,dx = +\infty.
Passo 6
Como a primeira parte diverge para -\infty e a segunda para +\infty, a integral imprópria não atinge valor finito.