5-38 Calcule a integral.
{\int_{1}^{\infty} \frac{x}{x^{2}-4} d x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria \displaystyle \int_{1}^{\infty}\frac{x}{x^{2}-4}\,dx.
O conteúdo aqui envolve integrais impróprias com duas fontes de possível divergência:
  1. singularidade em x=2 (denominador zero),
  2. limite superior infinito.
    Para resolver, vamos (i) achar a primitiva de \frac{x}{x^2-4}, (ii) dividir a integral em dois trechos em torno de x=2, (iii) examinar os limites para verificar convergência.

Passo 2

Usamos a substituição
u = x^2 - 4,\quad du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Logo a primitiva é
\int \frac{x}{x^2-4}\,dx = \frac12\int \frac{du}{u} = \frac12\ln\bigl|u\bigr| + C = \frac12\ln\bigl|x^2-4\bigr| + C.

Passo 3

Como x=2 está no interior do intervalo [1,\infty), dividimos
\int_{1}^{\infty}\frac{x}{x^2-4}\,dx = \lim_{t\to2^-}\int_{1}^{t}\frac{x}{x^2-4}\,dx \;+\; \lim_{s\to2^+}\int_{s}^{\infty}\frac{x}{x^2-4}\,dx.

Passo 4

Avaliação da parte de 1 a t<2:
\int_{1}^{t}\frac{x}{x^2-4}\,dx = \frac12\Bigl[\ln\bigl|t^2-4\bigr| - \ln\bigl|1^2-4\bigr|\Bigr] = \frac12\Bigl[\ln(4 - t^2)-\ln3\Bigr].
Quando t\to2^-, 4-t^2\to0^+ implica \ln(4-t^2)\to -\infty.
Logo \displaystyle \lim_{t\to2^-}\int_{1}^{t}\frac{x}{x^2-4}\,dx = -\infty.

Passo 5

Avaliação da parte de s>2 até R:
\int_{s}^{R}\frac{x}{x^2-4}\,dx = \frac12\Bigl[\ln\bigl|R^2-4\bigr| - \ln\bigl|s^2-4\bigr|\Bigr].
Para s\to2^+, \ln(s^2-4)\to -\infty e para R\to\infty, \ln(R^2-4)\sim2\ln R\to+\infty.
Portanto \displaystyle \lim_{s\to2^+}\int_{s}^{\infty}\frac{x}{x^2-4}\,dx = +\infty.

Passo 6

Como a primeira parte diverge para -\infty e a segunda para +\infty, a integral imprópria não atinge valor finito.

Resposta

A integral diverge (não é convergente).

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