38 Determine o conjunto solução da equação
\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}=\frac{1}{x-6}-\frac{1}{x-5}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação racional
\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}=\frac{1}{x-6}-\frac{1}{x-5},
onde devemos encontrar todos os x que satisfazem a igualdade, lembrando que não podemos ter denominadores nulos.

Passo 2

Identificamos o domínio da equação excluindo os valores que anulam qualquer denominador:
x\neq 3,\;x\neq 2,\;x\neq 6,\;x\neq 5.

Passo 3

Simplificamos cada diferença no lado esquerdo e no lado direito. No lado esquerdo, juntamos as frações sobre o mesmo denominador:
\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2} =\frac{(x-2)-(x-3)}{(x-3)(x-2)} =\frac{1}{(x-3)(x-2)}.
Analogamente, no lado direito:
\frac{1}{x-6}-\frac{1}{x-5} =\frac{(x-5)-(x-6)}{(x-6)(x-5)} =\frac{1}{(x-6)(x-5)}.

Passo 4

A equação fica então
\frac{1}{(x-3)(x-2)}=\frac{1}{(x-6)(x-5)}.
Como ambos os denominadores são não nulos, podemos cruzar produtos:

Passo 5

Igualando os denominadores após inverter as frações, obtemos
(x-6)(x-5)=(x-3)(x-2).
Expandindo cada lado:
x^2-11x+30 = x^2-5x+6.
Subtraindo x^2 de ambos os lados e agrupando termos:
-11x+30 = -5x+6 \quad\Longrightarrow\quad -6x+24=0 \quad\Longrightarrow\quad x=4.

Resposta

O conjunto solução é \{4\}.

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