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Determine a função afim tal que f(1)=2 e f(2)=-4 e a função quadrática tal que g(1)=-1, g(2)=-2 e f(3)=1.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine uma função afim f de grau 1 tal que f(1)=2 e f(2)=-4, e uma função quadrática g de grau 2 tal que g(1)=-1, g(2)=-2 e g(3)=1. O conteúdo envolve interpolação de polinômios de grau 1 e 2, para o qual vamos montar e resolver sistemas lineares.

Passo 2

Para a função afim, escrevemos f(x)=ax+b. Substituindo os pontos dados, obtemos o sistema:
a + b = 2 2a + b = -4
Para resolver, subtraímos a primeira equação da segunda: 2a+b−(a+b)=−4−2 ⇒ a=−6. Então, de a+b=2 segue b=2−(−6)=8. Assim f(x)=−6x+8.

Passo 3

Para a função quadrática, escrevemos g(x)=Ax^2+Bx+C. Substituindo g(1)=-1, g(2)=-2 e g(3)=1 temos o sistema:
A + B + C = -1 4A + 2B + C = -2 9A + 3B + C = 1
Subtraindo a primeira da segunda: (4A+2B+C)−(A+B+C)=−2−(−1) ⇒ 3A+B=−1. Subtraindo a segunda da terceira: (9A+3B+C)−(4A+2B+C)=1−(−2) ⇒ 5A+B=3. Subtraindo essas duas: (5A+B)−(3A+B)=3−(−1) ⇒ 2A=4 ⇒ A=2. Então B=−1−3A=−1−6=−7. Finalmente C=−1−A−B=−1−2+7=4, levando a g(x)=2x^2−7x+4.

Resposta

f(x)= -6x + 8 e g(x)=2x^2 - 7x + 4

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