Resolva a equação diferencial:
y^prime prime(t)+5 y^prime(t)+6 y(t)=e^-t, y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

Temos a equação diferencial y''(t)+5y'(t)+6y(t)=e^-t com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçado. Para resolver, primeiro vamos achar a solução geral da parte homogênea usando a equação característica e depois uma solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos y''+5y'+6y=0 e montamos a equação característica
r^2 +5r+6 = 0
Resolvendo, temos as raízes r=-2 e r=-3. Então a solução homogênea é
yh(t) = C1 e^-2t + C2 e^-3t

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular da forma yp(t)=A e^-t, já que o termo forçado é e^-t e -1 não é raiz da característica. Calculando as derivadas:
yp'(t) = -A e^-t, yp''(t) = A e^-t
Substituindo na equação original:
A e^-t +5(-A e^-t) +6(A e^-t) = (1-5+6)A e^-t = 2A e^-t = e^-t
Logo 2A=1 e A=tfrac12. Assim
yp(t) = tfrac12 e^-t

Passo 4

A solução geral antes de aplicar as condições iniciais é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^-2t + C2 e^-3t + tfrac12 e^-t
Agora usamos y(0)=1 e y'(0)=0. Primeiro,
y(0)=C1 + C2 + tfrac12 = 1 implies C1 + C2 = tfrac12
Em seguida, calculamos
y'(t) = -2C1 e^-2t -3C2 e^-3t -tfrac12 e^-t,
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y'(0) = -2C1 -3C2 - tfrac12 = 0 implies -2C1 -3C2 = tfrac12

Passo 5

Resolvendo o sistema
C1 + C2 = tfrac12, -2C1 -3C2 = tfrac12,
encontramos
C1 = 2, C2 = -tfrac32

Resposta

A solução que satisfaz as condições iniciais é
y(t) = 2e^-2t - tfrac32e^-3t + tfrac12e^-t

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