Resolva a equação diferencial:
Passo 1
Temos a equação diferencial
com condições iniciais
e
. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçado. Para resolver, primeiro vamos achar a solução geral da parte homogênea usando a equação característica e depois uma solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Para a parte homogênea, consideramos
e montamos a equação característica
Resolvendo, temos as raízes
e
. Então a solução homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular da forma
, já que o termo forçado é
e
não é raiz da característica. Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Logo
e
. Assim
Passo 4
A solução geral antes de aplicar as condições iniciais é
Agora usamos
e
. Primeiro,
Em seguida, calculamos
logo
Passo 5
Resolvendo o sistema
encontramos
Resposta
A solução que satisfaz as condições iniciais é