As inversas das funções hiperbolicas são definidas por:
a)
se, e somente se,
.
b)
somente se,
.
c)
somente se,
.
d)
se, e somente se,
.
e)
somente se,
.
f)
somente se,
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
O enunciado nos dá as definições das funções inversas hiperbólicas (argsenh, argcosh, argtgh, etc.) e pede para encontrarmos suas expressões explícitas em termos de logaritmos. O assunto envolve resolver equações exponenciais usando as fórmulas de sinh, cosh, tanh, coth, sech e csch, e depois aplicar a definição de logaritmo para isolar o argumento y.
Passo 2
Para achar
, começamos de
, ou seja,
Multiplicando por 2 e definindo
$$
u - \frac1u = 2x \implies u^2 -2x u -1 = 0.
\nu = x \pm \sqrt{x^2+1}.$$
Como
, escolhemos o sinal
e tiramos logaritmo:
$$
y = \ln\bigl(x + \sqrt{x^2+1}\bigr).
y = \ln\bigl(x + \sqrt{x^2+1}\bigr).
Passo 3
Para
, partimos de
:
Temos
$$
u = x \pm \sqrt{x^2-1},
y = \ln\bigl(x + \sqrt{x^2-1}\bigr).
Passo 4
Para
, usamos
:
Com
Logo:
$$
y = \tfrac12\ln!\x08iggl(\frac{1+x}{1-x}\biggr).
y = \tfrac12\ln!\x08iggl(\frac{1+x}{1-x}\biggr).
Passo 5
Para
, partimos de
:
Então:
$$
y = \tfrac12\ln!\x08iggl(\frac{x+1}{x-1}\biggr).
Passo 6
Para
, usamos que é
. Logo
e
$$
y = \operatorname{argcosh}(1/x) = \ln!\x08iggl(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac1{x^2}-1}\biggr),
y = \ln!\x08iggl(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\biggr).
Passo 7
Para
, partimos de
ou
. Assim:
$$
y = \operatorname{argsenh}(1/x) = \ln!\x08iggl(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac1{x^2}+1}\biggr),
y = \ln!\x08iggl(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\biggr).
Resposta
a)
b) (
)
c) (
)
d) (
)
e) (
)
f) (
)
b)
c)
d)
e)
f)