As inversas das funções hiperbolicas são definidas por:
a) y=argsenh(x) se, e somente se, senh(y)=x.
b) y=argcosh(x) se, e somente se, cosh (y)=x.
c) y=ar>gh(x) se, e somente se, tgh(y)=x.
d) y=argcotgh(x) se, e somente se, cotgh(y)=x.
e) y=argsech(x) se, e somente se, sech(y)=x.
f) y=argcosech(x) se, e somente se, cosech(y)=x.

Passo 1

O enunciado nos dá as definições das funções inversas hiperbólicas (argsenh, argcosh, argtgh, etc.) e pede para encontrarmos suas expressões explícitas em termos de logaritmos. O assunto envolve resolver equações exponenciais usando as fórmulas de sinh, cosh, tanh, coth, sech e csch, e depois aplicar a definição de logaritmo para isolar o argumento y.

Passo 2

Para achar y=argsenh(x), começamos de sinh(y)=x, ou seja,
e^y-e^-y2 = x
Multiplicando por 2 e definindo u=e^y>0:
$$
u - \frac1u = 2x \implies u^2 -2x u -1 = 0. u - 1u = 2x implies u^2 -2x u -1 = 0çãá\nu = x \pm \sqrt{x^2+1}.$$
Como u, escolhemos o sinal nu = x pm raizx^2+1 e tiramos logaritmo:
$$
y = \ln\bigl(x + \sqrt{x^2+1}\bigr).

Passo 3

Para y=argcosh(x), partimos de cosh(y)=x:
e^y+e^-y2 = x implies u + 1u = 2x implies u^2 -2x u +1=0
Temos
$$
u = x \pm \sqrt{x^2-1}, u = x pm raizx^2-1,
y = \ln\bigl(x + \sqrt{x^2-1}\bigr).

Passo 4

Para y=ar>gh(x), usamos tanh(y)=x:
e^y-e^-ye^y+e^-y = x
Com u=e^y obtemos
u^2-1u^2+1 = x implies u^2 = 1+x1-x
Logo:
$$
y = \tfrac12\ln!\x08iggl(\frac{1+x}{1-x}\biggr).

Passo 5

Para y=argcotgh(x), partimos de coth(y)=x:
e^y+e^-ye^y-e^-y = x implies u^2 = x+1x-1
Então:
$$
y = \tfrac12\ln!\x08iggl(\frac{x+1}{x-1}\biggr).

Passo 6

Para y=argsech(x), usamos que é sech(y)=x. Logo 1/cosh(y)=x e
$$
y = \operatorname{argcosh}(1/x) = \ln!\x08iggl(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac1{x^2}-1}\biggr), cosh(y)=1/x
y = \ln!\x08iggl(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\biggr).

Passo 7

Para y=argcosech(x), partimos de csch(y)=x ou sinh(y)=1/x. Assim:
$$
y = \operatorname{argsenh}(1/x) = \ln!\x08iggl(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac1{x^2}+1}\biggr), y = argsenh(1/x) = ln!x08iggl(1x + raiz1x^2+1gr),
y = \ln!\x08iggl(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\biggr).

Resposta

a) argsenh(x)=lnl(x+raizx^2+1r)
b) argcosh(x)=lnl(x+raizx^2-1r) ( x>=1)
c) ar>gh(x)=tfrac12lnl(1+x1-xr) ( |x|<1)
d) argcotgh(x)=tfrac12lnl(x+1x-1r) ( |x|>1)
e) argsech(x)=lnl(1+raiz1-x^2xr) ( 0)
f) argcosech(x)=lnl(1+raiz1+x^2xr) ( xneq0)

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