38- \int x \cdot \operatorname{sen}(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x \cdot \operatorname{sen}(2x)\,dx.
Isso envolve o método de integração por partes, cuja fórmula é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos as partes para integrar por partes:
u = x e dv = \operatorname{sen}(2x)\,dx.
Então precisamos de du e de v.

Passo 3

Calculamos
du = dx
e para encontrar v, integramos dv:
v = \int \operatorname{sen}(2x)\,dx.
Usamos a primitiva de \operatorname{sen}(2x), que é
\int \operatorname{sen}(2x)\,dx = -\tfrac{1}{2}\cos(2x).
Logo
v = -\tfrac{1}{2}\cos(2x).

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
\int x\,\operatorname{sen}(2x)\,dx = u\,v - \int v\,du = x\Bigl(-\tfrac{1}{2}\cos(2x)\Bigr) - \int \Bigl(-\tfrac{1}{2}\cos(2x)\Bigr)\,dx.
Isto é,
\int x\,\operatorname{sen}(2x)\,dx = -\tfrac{x}{2}\cos(2x) + \tfrac{1}{2}\int \cos(2x)\,dx.

Passo 5

Falta calcular \displaystyle \int \cos(2x)\,dx. Sabemos que
\int \cos(2x)\,dx = \tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2x).
Substituindo de volta,
\int x\,\operatorname{sen}(2x)\,dx = -\tfrac{x}{2}\cos(2x) + \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2x) = -\tfrac{x}{2}\cos(2x) + \tfrac{1}{4}\operatorname{sen}(2x) + C.

Resposta

-\tfrac{x}{2}\cos(2x) + \tfrac{1}{4}\operatorname{sen}(2x) + C

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