40- \int \ln (x)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \bigl(\ln(x)\bigr)^{2}\,dx.
O conteúdo principal aqui é o método de integração por partes, que se baseia na fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos as funções para integração por partes:
u = \bigl(\ln(x)\bigr)^{2}, \quad dv = dx.
Dessa forma, vamos encontrar du e v.

Passo 3

Calculamos du e v:
du = 2\,\ln(x)\,\frac{1}{x}\,dx = \frac{2\,\ln(x)}{x}\,dx, \quad v = \int dv = \int dx = x.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int \bigl(\ln(x)\bigr)^{2}\,dx = u\,v - \int v\,du = x\bigl(\ln(x)\bigr)^{2} - \int x \cdot \frac{2\,\ln(x)}{x}\,dx.
Isso simplifica para
\int \bigl(\ln(x)\bigr)^{2}\,dx = x\bigl(\ln(x)\bigr)^{2} - 2 \int \ln(x)\,dx.

Passo 5

Agora calculamos \displaystyle \int \ln(x)\,dx também por partes, escolhendo
\displaystyle u = \ln(x), dv = dx. Então
du = \frac{1}{x}\,dx, \quad v = x,
e
\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x}\,dx = x\ln(x) - \int 1\,dx = x\ln(x) - x.

Passo 6

Substituímos esse resultado na expressão obtida no Passo 4:
\int \bigl(\ln(x)\bigr)^{2}\,dx = x\bigl(\ln(x)\bigr)^{2} - 2\bigl(x\ln(x) - x\bigr) + C.
Distribuindo o -2:
\int \bigl(\ln(x)\bigr)^{2}\,dx = x\bigl(\ln(x)\bigr)^{2} - 2x\ln(x) + 2x + C.

Resposta

\boxed{\int \bigl(\ln(x)\bigr)^{2}\,dx = x\bigl(\ln(x)\bigr)^{2} - 2x\ln(x) + 2x + C.}

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