38- Mostre que, se A é uma matriz n \times n, então \operatorname{det}(\operatorname{adj} A)=[\operatorname{det}(A)]^{n-1}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma matriz quadrada A de ordem n, vale
\det\bigl(\operatorname{adj}A\bigr)=\bigl[\det(A)\bigr]^{\,n-1}.
O que vamos usar é a definição da matriz adjunta (ou adjugada) e a identidade fundamental que relaciona A, \operatorname{adj}A e \det(A).

Passo 2

A identidade fundamental da matriz adjunta diz que, para toda matriz A\in M_{n}(\mathbb{K}), temos
A\,\operatorname{adj}(A)=\det(A)\,I_{n}.
Isto vem da expansão de Laplace por cofatores: cada elemento de A\,\operatorname{adj}(A) é, na linha i e coluna j, a soma de cofatores que reproduz \det(A) quando i=j e 0 quando i\neq j.

Passo 3

Vamos tirar determinante em ambos os lados de
A\,\operatorname{adj}(A)=\det(A)\,I_{n}.
Usando que \det(XY)=\det(X)\det(Y) e \det(cI_{n})=c^{n} para escalar c, obtemos
\det\bigl(A\,\operatorname{adj}(A)\bigr) =\det(A)\,\det\bigl(\operatorname{adj}(A)\bigr) \quad\text{e}\quad \det\bigl(\det(A)\,I_{n}\bigr) =\bigl[\det(A)\bigr]^{n}.
Portanto
\det(A)\,\det\bigl(\operatorname{adj}(A)\bigr) =\bigl[\det(A)\bigr]^{n}.

Passo 4

Se \det(A)\neq0, podemos dividir ambos os lados por \det(A) e chega-se a
\det\bigl(\operatorname{adj}(A)\bigr) =\bigl[\det(A)\bigr]^{\,n-1}.
Se \det(A)=0, então \operatorname{adj}(A) tem posto no máximo 1 (ou é a matriz zero), logo \det(\operatorname{adj}(A))=0, e também \bigl[\det(A)\bigr]^{n-1}=0. Assim a fórmula vale em todos os casos.

Resposta

\det\bigl(\operatorname{adj}A\bigr)=\bigl[\det(A)\bigr]^{\,n-1}.

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