38- Mostre que, se
é uma matriz
, então
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma matriz quadrada
de ordem
, vale
O que vamos usar é a definição da matriz adjunta (ou adjugada) e a identidade fundamental que relaciona
,
e
.
Passo 2
A identidade fundamental da matriz adjunta diz que, para toda matriz
, temos
Isto vem da expansão de Laplace por cofatores: cada elemento de
é, na linha
e coluna
, a soma de cofatores que reproduz
quando
e
quando
.
Passo 3
Vamos tirar determinante em ambos os lados de
Usando que
e
para escalar
, obtemos
Portanto
Passo 4
Se
, podemos dividir ambos os lados por
e chega-se a
Se
, então
tem posto no máximo
(ou é a matriz zero), logo
, e também
. Assim a fórmula vale em todos os casos.