38.1) Uma sequência (
) diz-se periódica quando existe
tal que
para todo
.
Dadas as sequências {
} e {
}, defina {
} pondo
e
. Se
, prove que
.
Dadas as sequências {
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a sequência intercalada
, em que
converge para
sempre que
e
. O conteúdo usado será a definição ε–
de limite de sequência.
Passo 2
Pela definição de limite, como
, para todo
existe
tal que, para todo
,
De modo análogo, como
, existe
tal que, para todo
,
Passo 3
Defina
Seja agora
. Dois casos:
-
é par, digamos . Então
e assim
-
é ímpar, digamos . Então
e portanto
Em ambos os casos, para todo
temos
.
Resposta
Como para todo
existe
tal que
, concluímos
.