38.1) Uma sequência ( x_{n} ) diz-se periódica quando existe p \in \mathbb{N} tal que x_{n+p}=x_{n} para todo n \in \mathbb{N}.
Dadas as sequências { x_{n}} e { y_{n}}, defina { z_{n}} pondo z_{2 n-1}=x_{n} e z_{2 n}=y_{n}. Se \lim x_{n}= \lim y_{n}=a, prove que \lim z_{n}=a.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência intercalada \{z_n\}, em que
z_{2n-1}=x_n,\quad z_{2n}=y_n,
converge para a sempre que \lim_{n\to\infty}x_n=a e \lim_{n\to\infty}y_n=a. O conteúdo usado será a definição ε– N de limite de sequência.

Passo 2

Pela definição de limite, como \lim x_n=a, para todo \epsilon>0 existe N_1\in\mathbb{N} tal que, para todo n>N_1,
\lvert x_n - a\rvert<\epsilon.
De modo análogo, como \lim y_n=a, existe N_2\in\mathbb{N} tal que, para todo n>N_2,
\lvert y_n - a\rvert<\epsilon.

Passo 3

Defina
N=\max\{N_1,N_2\}\quad\text{e}\quad M=2N.
Seja agora n>M. Dois casos:
  1. n é par, digamos n=2k. Então
k=\frac n2 > \frac M2 = N,
e assim
|z_n-a| = |y_k-a| < \epsilon\quad(\text{pois }k>N\ge N_2).
  1. n é ímpar, digamos n=2k-1. Então
k=\frac{n+1}2 > \frac{M+1}2 = N + \tfrac12 > N,
e portanto
|z_n-a| = |x_k-a| < \epsilon\quad(\text{pois }k>N\ge N_1).
Em ambos os casos, para todo n>M temos \lvert z_n - a\rvert<\epsilon.

Resposta

Como para todo \epsilon>0 existe M tal que n>M\implies|z_n-a|<\epsilon, concluímos \displaystyle\lim_{n\to\infty}z_n=a.

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