Mostre que se a \neq 0 e \lim \frac{x_{n}}{a}=1, então \lim x_{n}=a.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dada uma sequência (x_n) e um número real a\neq 0, se
\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{a} = 1,
então
\lim_{n\to\infty}x_n = a.
Vamos usar a definição de limite de sequência e a propriedade de multiplicação por constante.

Passo 2

Pela definição de limite, \lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{a} = 1 significa que, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, se n>N, então
\left|\frac{x_n}{a}-1\right| < \frac{\varepsilon}{|a|}.
Como a\neq 0, podemos escolher precisamente esse \frac{\varepsilon}{|a|} como margem para \frac{x_n}{a}.

Passo 3

Observe que, para n>N,
\bigl|x_n - a\bigr| = \bigl|\,a\cdot\frac{x_n}{a} - a\bigr| = |a|\;\bigl|\tfrac{x_n}{a} - 1\bigr| < |a|\;\frac{\varepsilon}{|a|} = \varepsilon.
Isso mostra, pela definição de limite, que \lim_{n\to\infty}x_n = a.

Resposta

\lim_{n\to\infty}x_n = a.

Exercícios relacionados