38.1) Uma sequência ( x_{n} ) diz-se periódica quando existe p \in \mathbb{N} tal que x_{n+p}=x_{n} para todo n \in \mathbb{N}.
Se uma sequência monótona tem uma subsequência convergente, prove que a sequência é, ela própria convergente.

Passo 1

O enunciado dá uma sequência real (x_n) que é monótona (isto é, ou crescente ou decrescente) e afirma que existe uma subsequência (x_{n_k}) que converge para algum L\in\mathbb{R}. Queremos provar que, sob essa hipótese, a própria sequência (x_n) converge e, de fato, converge para L.

Passo 2

Como (x_{n_k}) converge para L, ela é limitada, ou seja, existem constantes m,M tais que
m \le x_{n_k} \le M \quad\text{para todo }k.
Pela monotonicidade de (x_n), segue que toda a sequência também fica entre esses mesmos limites, logo (x_n) é limitada.

Passo 3

Suponha, sem perda de generalidade, que (x_n) seja crescente. Defina
S = \sup\{x_n : n\in\mathbb{N}\}.
Como (x_n) é limitada e crescente, a teoria do supremo garante que \lim_{n\to\infty}x_n = S. Falta mostrar que S = L. Dado \varepsilon>0, como x_{n_k}\to L, existe K tal que para todo k\ge K temos
L - \varepsilon < x_{n_k} < L + \varepsilon.
Então
  1. x_{n_k} > L - \varepsilon implica S \ge L - \varepsilon. Como \varepsilon é arbitrário, S \ge L.
  2. x_{n_k} < L + \varepsilon para todo k\ge K implica S \le L + \varepsilon. Logo S \le L.
    Portanto S = L.
Se (x_n) fosse decrescente, faria-se análogo usando I = \inf\{x_n\} em vez de supremo.

Passo 4

Concluímos que \lim_{n\to\infty}x_n = S = L. Em particular, dado \varepsilon>0, para todo n temos
L - \varepsilon < x_n \le L
(o caso decrescente dá L \le x_n < L+\varepsilon), garantindo \lvert x_n - L\rvert < \varepsilon para todo n suficientemente grande.

Resposta

A sequência (x_n) é convergente e seu limite é L, o mesmo limite da subsequência convergente.

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