38.1) Uma sequência (
) diz-se periódica quando existe
tal que
para todo
.
Se uma sequência monótona tem uma subsequência convergente, prove que a sequência é, ela própria convergente.
Se uma sequência monótona tem uma subsequência convergente, prove que a sequência é, ela própria convergente.
Passo 1
O enunciado dá uma sequência real
que é monótona (isto é, ou crescente ou decrescente) e afirma que existe uma subsequência
que converge para algum
. Queremos provar que, sob essa hipótese, a própria sequência
converge e, de fato, converge para
.
Passo 2
Como
converge para
, ela é limitada, ou seja, existem constantes
tais que
Pela monotonicidade de
, segue que toda a sequência também fica entre esses mesmos limites, logo
é limitada.
Passo 3
Suponha, sem perda de generalidade, que
seja crescente. Defina
Como
é limitada e crescente, a teoria do supremo garante que
. Falta mostrar que
. Dado
, como
, existe
tal que para todo
temos
Então
-
implica . Como é arbitrário, . -
para todo implica . Logo .
Portanto.
Se
fosse decrescente, faria-se análogo usando
em vez de supremo.
Passo 4
Concluímos que
. Em particular, dado
, para todo
temos
(o caso decrescente dá
), garantindo
para todo
suficientemente grande.
Resposta
A sequência
é convergente e seu limite é
, o mesmo limite da subsequência convergente.