38.1) Uma sequência ( x_{n} ) diz-se periódica quando existe p \in \mathbb{N} tal que x_{n+p}=x_{n} para todo n \in \mathbb{N}.
Se \lim x_{n}=a, \lim y_{n}=b e \left|x_{n}-y_{n}\right| \geq \varepsilon para todo n \in \mathbb{N}, prove que |a-b| \geq \varepsilon.
Passo 1
O enunciado dá duas sequências reais (x_n) e (y_n) tais que \lim x_n = a, \lim y_n = b e
\lvert x_n - y_n\rvert \ge \varepsilon\quad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.
Queremos provar que
\lvert a - b\rvert \ge \varepsilon.
Vamos usar que a aplicação t\mapsto\lvert t\rvert é contínua e que a desigualdade se preserva ao passar ao limite.
Passo 2
Defina a sequência
s_n = \lvert x_n - y_n\rvert.
Como a função \varphi(t)=\lvert t\rvert é contínua em \mathbb{R}, temos, pela propriedade de composição de limites,