38.1) Uma sequência ( x_{n} ) diz-se periódica quando existe p \in \mathbb{N} tal que x_{n+p}=x_{n} para todo n \in \mathbb{N}.
Se \lim x_{n}=a, \lim y_{n}=b e \left|x_{n}-y_{n}\right| \geq \varepsilon para todo n \in \mathbb{N}, prove que |a-b| \geq \varepsilon.

Passo 1

O enunciado dá duas sequências reais (x_n) e (y_n) tais que \lim x_n = a, \lim y_n = b e
\lvert x_n - y_n\rvert \ge \varepsilon\quad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.
Queremos provar que
\lvert a - b\rvert \ge \varepsilon.
Vamos usar que a aplicação t\mapsto\lvert t\rvert é contínua e que a desigualdade se preserva ao passar ao limite.

Passo 2

Defina a sequência
s_n = \lvert x_n - y_n\rvert.
Como a função \varphi(t)=\lvert t\rvert é contínua em \mathbb{R}, temos, pela propriedade de composição de limites,
\lim_{n\to\infty}s_n = \lim_{n\to\infty}\lvert x_n - y_n\rvert = \bigl\lvert \lim_{n\to\infty}(x_n - y_n)\bigr\rvert = \lvert a - b\rvert.

Passo 3

Pelo enunciado, para todo n vale
s_n = \lvert x_n - y_n\rvert \;\ge\;\varepsilon.
Logo a sequência (s_n) é sempre maior ou igual a \varepsilon. Quando uma sequência é sempre \ge\varepsilon, seu limite também satisfaz
\lim_{n\to\infty}s_n \;\ge\;\varepsilon.
Portanto, combinando com o resultado do passo anterior,
\lvert a - b\rvert = \lim_{n\to\infty}s_n \;\ge\;\varepsilon.

Resposta

\lvert a - b\rvert \ge \varepsilon.

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