38.1) Uma sequência ( x_{n} ) diz-se periódica quando existe p \in \mathbb{N} tal que x_{n+p}=x_{n} para todo n \in \mathbb{N}.
A fim de que o número real b não seja valor de aderência da sequência ( x_{n} ) é necessário e suficiente que existam n_{0} \in \mathbb{N} e \varepsilon>0 tais que n>n_{0} \Longrightarrow\left|x_{n}-b\right| \geq \varepsilon.

Passo 1

O enunciado nos dá uma sequência (x_{n}) e define uma sequência periódica, mas o que vamos usar é a noção de valor de aderência. Lembremos que: \displaystyle b é valor de aderência de (x_{n}) se, e somente se,
para todo \varepsilon>0 e para todo n_{0}\in\mathbb{N}, existe n>n_{0} tal que
|x_{n}-b|<\varepsilon.
Precisamos mostrar a equivalência entre:
(1) b não ser valor de aderência de (x_{n});
(2) existir n_{0}\in\mathbb{N} e \varepsilon>0 tais que, sempre que n>n_{0},
|x_{n}-b|\ge\varepsilon.

Passo 2

(→) Suponha que existam n_{0}\in\mathbb{N} e \varepsilon>0 tais que, para todo n>n_{0},
|x_{n}-b|\ge\varepsilon.
Então, tomado este mesmo \varepsilon>0 e o n_{0} dado, não existe nenhum n>n_{0} com |x_{n}-b|<\varepsilon. Assim falha exatamente a condição necessária à definição de valor de aderência. Logo b não é valor de aderência de (x_{n}).

Passo 3

(←) Agora suponha que b não seja valor de aderência. Isso significa que não vale a afirmação
\forall\varepsilon>0,\;\forall n_{0}\in\mathbb{N},\;\exists n>n_{0}:\;|x_{n}-b|<\varepsilon.
Ao negar esta fórmula, obtemos
\exists\varepsilon>0,\;\exists n_{0}\in\mathbb{N}\;\text{tal que}\;\forall n>n_{0}:\;|x_{n}-b|\ge\varepsilon.
E é exatamente a condição (2) que queríamos.

Resposta

Mostramos que
b\text{ não é valor de aderência de }(x_{n}) \quad\Longleftrightarrow\quad \exists n_{0}\in\mathbb{N},\;\exists\varepsilon>0,\;\forall n>n_{0}:\;|x_{n}-b|\ge\varepsilon.ãéê

Exercícios relacionados