38.1) Uma sequência (
) diz-se periódica quando existe
tal que
para todo
.
A fim de que o número real b não seja valor de aderência da sequência (
) é necessário e suficiente que existam
e
tais que
.
A fim de que o número real b não seja valor de aderência da sequência (
Passo 1
O enunciado nos dá uma sequência
e define uma sequência periódica, mas o que vamos usar é a noção de valor de aderência. Lembremos que:
é valor de aderência de
se, e somente se,
para todo e para todo
, existe
tal que
para todo
Precisamos mostrar a equivalência entre:
(1)
não ser valor de aderência de
;
(2) existir e
tais que, sempre que
,
(2) existir
Passo 2
(→) Suponha que existam
e
tais que, para todo
,
Então, tomado este mesmo
e o
dado, não existe nenhum
com
. Assim falha exatamente a condição necessária à definição de valor de aderência. Logo
não é valor de aderência de
.
Passo 3
(←) Agora suponha que
não seja valor de aderência. Isso significa que não vale a afirmação
Ao negar esta fórmula, obtemos
E é exatamente a condição (2) que queríamos.
Resposta
Mostramos que