38.1) Uma sequência ( x_{n} ) diz-se periódica quando existe p \in \mathbb{N} tal que x_{n+p}=x_{n} para todo n \in \mathbb{N}.
Se \lim x_{n}=a, prove que \lim \left|x_{n}\right|=|a|.
Passo 1
O enunciado nos dá uma sequência (x_{n}) tal que
\lim_{n\to\infty}x_{n}=a
e pede para provar que
\lim_{n\to\infty}\bigl|x_{n}\bigr|=\bigl|a\bigr|.
O conteúdo aqui é limite de sequência e uso da continuidade da função valor absoluto.
Passo 2
Usamos a desigualdade triangular na forma especializada para valores absolutos: para todo n,