38.1) Uma sequência ( x_{n} ) diz-se periódica quando existe p \in \mathbb{N} tal que x_{n+p}=x_{n} para todo n \in \mathbb{N}.
Se \lim x_{n}=a, prove que \lim \left|x_{n}\right|=|a|.

Passo 1

O enunciado nos dá uma sequência (x_{n}) tal que
\lim_{n\to\infty}x_{n}=a
e pede para provar que
\lim_{n\to\infty}\bigl|x_{n}\bigr|=\bigl|a\bigr|.
O conteúdo aqui é limite de sequência e uso da continuidade da função valor absoluto.

Passo 2

Usamos a desigualdade triangular na forma especializada para valores absolutos: para todo n,
\bigl|\;\bigl|x_{n}\bigr|-\bigl|a\bigr|\bigr|\;\le\;\bigl|x_{n}-a\bigr|.
Essa desigualdade segue de
\bigl|x_{n}\bigr|=\bigl|\,a+(x_{n}-a)\bigr|\le\bigl|a\bigr|+\bigl|x_{n}-a\bigr|
e de modo análogo trocando x_{n} por a.

Passo 3

Seja \varepsilon>0. Como \lim_{n\to\infty}x_{n}=a, existe N\in\mathbb{N} tal que para todo n\ge N temos
\bigl|x_{n}-a\bigr|<\varepsilon.
Pelo passo anterior, para n\ge N vale
\bigl|\;\bigl|x_{n}\bigr|-\bigl|a\bigr|\bigr|\le\bigl|x_{n}-a\bigr|<\varepsilon.
Isso mostra exatamente que \lim_{n\to\infty}|x_{n}|=|a|.

Resposta

\lim_{n\to\infty}\bigl|x_{n}\bigr|=\bigl|a\bigr|.

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