38.1) Uma sequência ( x_{n} ) diz-se periódica quando existe p \in \mathbb{N} tal que x_{n+p}=x_{n} para todo n \in \mathbb{N}.
Sejam \lim x_{n}=a e \lim y_{n}=b. Se a<b, prove que existe n_{0} \in \mathbb{N} tal que n>n_{0} \Longrightarrow x_{n}<y_{n}.

Passo 1

O enunciado dá duas sequências reais (x_n) e (y_n) com
\lim_{n\to\infty}x_n = a,\qquad \lim_{n\to\infty}y_n = b,
e afirma que a<b. Precisamos provar que existe n_0\in\mathbb{N} tal que, para todo n>n_0, vale
x_n < y_n.
Usaremos a definição de limite de sequência e a ideia de “eventualmente” uniformizar as duas aproximações.

Passo 2

Como a<b, defina
\varepsilon = \frac{b - a}{2} > 0.
A estratégia é garantir que, a partir de certo índice, x_n fique dentro de \varepsilon de a e y_n fique dentro de \varepsilon de b.

Passo 3

Pela definição de \lim_{n\to\infty}x_n = a, existe N_1 tal que, para todo n > N_1,
|x_n - a| < \varepsilon.
Isso implica
x_n < a + \varepsilon.

Passo 4

De modo análogo, como \lim_{n\to\infty}y_n = b, existe N_2 tal que, para todo n > N_2,
|y_n - b| < \varepsilon,
o que leva a
y_n > b - \varepsilon.

Passo 5

Escolha
n_0 = \max\{N_1,\,N_2\}.
Para todo n>n_0 temos simultaneamente
x_n < a + \varepsilon \quad\text{e}\quad y_n > b - \varepsilon.
Mas
a + \varepsilon = a + \frac{b-a}{2} = \frac{a+b}{2} \quad\text{e}\quad b - \varepsilon = b - \frac{b-a}{2} = \frac{a+b}{2},
logo
x_n < \frac{a+b}{2} < y_n.
Portanto, para todo n>n_0 segue x_n<y_n, como queríamos demonstrar.

Resposta

Escolhendo \varepsilon=(b-a)/2 e n_0=\max\{N_1,N_2\} conforme acima, garante-se que, para todo n>n_0, x_n<y_n.

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