38.1) Uma sequência (
) diz-se periódica quando existe
tal que
para todo
.
Sejam
e
. Se
, prove que existe
tal que
.
Sejam
Passo 1
O enunciado dá duas sequências reais
e
com
e afirma que
. Precisamos provar que existe
tal que, para todo
, vale
Usaremos a definição de limite de sequência e a ideia de “eventualmente” uniformizar as duas aproximações.
Passo 2
Como
, defina
A estratégia é garantir que, a partir de certo índice,
fique dentro de
de
e
fique dentro de
de
.
Passo 3
Pela definição de
, existe
tal que, para todo
,
Isso implica
Passo 4
De modo análogo, como
, existe
tal que, para todo
,
o que leva a
Passo 5
Escolha
Para todo
temos simultaneamente
Mas
logo
Portanto, para todo
segue
, como queríamos demonstrar.
Resposta
Escolhendo
e
conforme acima, garante-se que, para todo
,
.