38.1) Uma sequência ( x_{n} ) diz-se periódica quando existe p \in \mathbb{N} tal que x_{n+p}=x_{n} para todo n \in \mathbb{N}.
Se o número real a não é o limite da sequência limitada { x_{n}}, prove que alguma subsequência de { x_{n}} converge para um limite b \neq a.

Passo 1

Temos uma sequência limitada (x_n) em \mathbb{R} e um número real a que não é limite de (x_n). Queremos mostrar que existe alguma subsequência de (x_n) que converge para um valor b\neq a. Para isso usaremos a definição de limite de sequência e o Teorema de Bolzano–Weierstrass, que garante que toda sequência real limitada possui uma subsequência convergente.

Passo 2

Como a não é limite de (x_n), pela definição de limite existe \varepsilon>0 tal que, para todo N\in\mathbb{N}, existe algum n\ge N com
|x_n - a|\ge \varepsilon.
Isto significa que há infinitos índices n para os quais x_n sai da vizinhança (a-\varepsilon,a+\varepsilon).

Passo 3

Definimos o conjunto
N = \bigl\{\,n\in\mathbb{N} : |x_n - a|\ge \varepsilon\bigr\}.
Já vimos que N é infinito. Logo podemos escolher uma sequência estritamente crescente de índices (n_k)\subset N. Assim \bigl(x_{n_k}\bigr) é uma subsequência de (x_n) e, sendo parte de uma sequência limitada, também é limitada.

Passo 4

Pelo Teorema de Bolzano–Weierstrass, da sequência limitada \bigl(x_{n_k}\bigr) podemos extrair uma subsequência convergente \bigl(x_{n_{k_j}}\bigr). Chamemos o limite dessa subsequência de b:
\lim_{j\to\infty} x_{n_{k_j}} = b.
Como para todo j vale |x_{n_{k_j}} - a|\ge \varepsilon, passando ao limite obtemos
|b - a| \ge \varepsilon > 0,
portanto b\neq a.

Resposta

Tomando \bigl(x_{n_{k_j}}\bigr) conforme construído, temos uma subsequência de (x_n) que converge para b\neq a, como era para provar.

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