38.1) Uma sequência (
) diz-se periódica quando existe
tal que
para todo
.
Se o número real a não é o limite da sequência limitada {
}, prove que alguma subsequência de {
} converge para um limite
.
Se o número real a não é o limite da sequência limitada {
Passo 1
Temos uma sequência limitada
em
e um número real
que não é limite de
. Queremos mostrar que existe alguma subsequência de
que converge para um valor
. Para isso usaremos a definição de limite de sequência e o Teorema de Bolzano–Weierstrass, que garante que toda sequência real limitada possui uma subsequência convergente.
Passo 2
Como
não é limite de
, pela definição de limite existe
tal que, para todo
, existe algum
com
Isto significa que há infinitos índices
para os quais
sai da vizinhança
.
Passo 3
Definimos o conjunto
Já vimos que
é infinito. Logo podemos escolher uma sequência estritamente crescente de índices
. Assim
é uma subsequência de
e, sendo parte de uma sequência limitada, também é limitada.
Passo 4
Pelo Teorema de Bolzano–Weierstrass, da sequência limitada
podemos extrair uma subsequência convergente
. Chamemos o limite dessa subsequência de
:
Como para todo
vale
, passando ao limite obtemos
portanto
.
Resposta
Tomando
conforme construído, temos uma subsequência de
que converge para
, como era para provar.