39.45
A incerteza no componente y da posição de um próton é 2,0 \times 10^{-12} m. Qual é a incerteza mínima em uma medição simultânea do componente y da velocidade do próton?

Passo 1

O enunciado pede a incerteza mínima em uma medição simultânea do componente y da velocidade de um próton, dado que a incerteza no componente y da posição é \Delta y = 2,0\times10^{-12}\\ \mathrm{m}.
Informações fornecidas:
  • \Delta y = 2,0\times10^{-12}\\ \mathrm{m} (pego do enunciado).
    O que precisamos encontrar: \Delta v_y, a incerteza mínima no componente y da velocidade do próton, compatível com a física quântica.

Passo 2

Conceito que vamos usar — princípio da incerteza de Heisenberg (forma para uma componente):
\Delta y\,\Delta p_y \ge \frac{\hbar}{2}.
Explicando a fórmula com calma:
  • \Delta y é a incerteza na posição na direção y (em metros).
  • \Delta p_y é a incerteza no momento linear na direção y (em \mathrm{kg\cdot m/s}).
  • \hbar é a constante de Planck reduzida, \hbar = 1,054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
    Essa desigualdade diz que, quanto mais precisamente se conhece a posição numa direção, maior deve ser a incerteza no momento naquela mesma direção — e vice-versa. Aqui queremos a incerteza mínima em velocidade compatível com essa desigualdade.

Passo 3

Relacionar momento e velocidade: para uma partícula não relativística, o momento é p_y = m v_y. Portanto a incerteza no momento está ligada à incerteza na velocidade por
\Delta p_y = m\,\Delta v_y,
onde:
  • m é a massa do próton; usaremos m_p = 1,6726219\times10^{-27}\\ \mathrm{kg} (valor padrão).
    Substituindo em Heisenberg obtemos a expressão para a incerteza mínima em velocidade:
\Delta y \cdot (m_p\,\Delta v_y) \ge \frac{\hbar}{2} \quad\Rightarrow\quad \Delta v_y \ge \frac{\hbar}{2\,m_p\,\Delta y}.
Essa é a fórmula que vamos aplicar numericamente. Aqui:
  • \Delta v_y tem unidade \mathrm{m/s},
  • \hbar em \mathrm{J\cdot s} = \mathrm{kg\cdot m^2/s},
  • m_p em \mathrm{kg},
  • \Delta y em \mathrm{m},
    e a unidade resultante será \mathrm{m/s}, como esperado.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos:
  • \hbar = 1,054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s} (constante),
  • m_p = 1,6726219\times10^{-27}\\ \mathrm{kg} (massa do próton),
  • \Delta y = 2,0\times10^{-12}\\ \mathrm{m} (do enunciado).
Calcular o denominador primeiro:
2\,m_p\,\Delta y = 2\cdot\bigl(1,6726219\times10^{-27}\bigr)\cdot\bigl(2,0\times10^{-12}\bigr) = 6,6904876\times10^{-39}\\ \mathrm{kg\cdot m}.

Passo 5

Agora a razão:
\Delta v_y \ge \frac{1,054571817\times10^{-34}}{6,6904876\times10^{-39}} = \frac{1,054571817}{6,6904876}\times10^{5}.
Avaliação numérica aproximada:
\frac{1,054571817}{6,6904876}\approx 0,1577,
logo
\Delta v_y \gtrsim 0,1577\times10^{5} \\ \mathrm{m/s} = 1,577\times10^{4}\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de acordo com as cifras significativas dos dados (o dado \Delta y tem duas cifras significativas: 2,0\times10^{-12}), apresentamos \Delta v_y com duas cifras significativas: 1,6\times10^{4}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Interpretação final curta e incentivo: isso significa que, se a posição do próton na direção y estiver conhecida com precisão de 2{,}0\times10^{-12}\\ \mathrm{m}, então a incerteza mínima na velocidade v_y é da ordem de 10^{4}\\ \mathrm{m/s}. É um valor grande comparado a velocidades do dia a dia, mostrando como a mecânica quântica impõe limites quando se tenta medir posição muito precisamente. Vai dar tudo certo na prova — memorize a forma \Delta x\,\Delta p \gtrsim \hbar/2 e a transformação para velocidade usando p=mv.

Resposta

1,6\times10^{4}\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados