39.45
A incerteza no componente y da posição de um próton é
. Qual é a incerteza mínima em uma medição simultânea do componente y da velocidade do próton?
A incerteza no componente y da posição de um próton é
Passo 1
O enunciado pede a incerteza mínima em uma medição simultânea do componente
da velocidade de um próton, dado que a incerteza no componente
da posição é
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
-
(pego do enunciado).
O que precisamos encontrar:, a incerteza mínima no componente da velocidade do próton, compatível com a física quântica.
Passo 2
Conceito que vamos usar — princípio da incerteza de Heisenberg (forma para uma componente):
Explicando a fórmula com calma:
-
é a incerteza na posição na direção (em metros). -
é a incerteza no momento linear na direção (em ). -
é a constante de Planck reduzida, .
Essa desigualdade diz que, quanto mais precisamente se conhece a posição numa direção, maior deve ser a incerteza no momento naquela mesma direção — e vice-versa. Aqui queremos a incerteza mínima em velocidade compatível com essa desigualdade.
Passo 3
Relacionar momento e velocidade: para uma partícula não relativística, o momento é
. Portanto a incerteza no momento está ligada à incerteza na velocidade por
onde:
-
é a massa do próton; usaremos (valor padrão).
Substituindo em Heisenberg obtemos a expressão para a incerteza mínima em velocidade:
Essa é a fórmula que vamos aplicar numericamente. Aqui:
-
tem unidade , -
em , -
em , -
em ,
e a unidade resultante será, como esperado.
Passo 4
Agora substituímos os valores numéricos:
-
(constante), -
(massa do próton), -
(do enunciado).
Calcular o denominador primeiro:
Passo 5
Agora a razão:
Avaliação numérica aproximada:
logo
Arredondando de acordo com as cifras significativas dos dados (o dado
tem duas cifras significativas:
), apresentamos
com duas cifras significativas:
.
Passo 6
Interpretação final curta e incentivo: isso significa que, se a posição do próton na direção
estiver conhecida com precisão de
, então a incerteza mínima na velocidade
é da ordem de
. É um valor grande comparado a velocidades do dia a dia, mostrando como a mecânica quântica impõe limites quando se tenta medir posição muito precisamente. Vai dar tudo certo na prova — memorize a forma
e a transformação para velocidade usando
.