Um objeto de 2,0 \mathrm{~kg}, que se comporta como uma partícula, se move em um plano * com componentes de velocidade \mathrm{Vx}=30 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e \mathrm{Vy}=60 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ao passar por um ponto de coordenadas (3,0 ;-4,0) \mathrm{m}. Nesse instante, em termos dos vetores unitários, qual é o momento angular do objeto em relação (a) à origem e (b) ao ponto (-2,0;-2,0) m?
◯ a) (720 \mathrm{kgm} 2) \mathrm{k}, \mathrm{b})(600 \mathrm{kmm} 2) \mathrm{k}
◯ a) (800 \mathrm{kgm} 2) \mathrm{k}, \mathrm{b})(720 \mathrm{kmm} 2) \mathrm{k}
◯ a) (600 \mathrm{kgm} 2) \mathrm{k}, \mathrm{b})(720 \mathrm{kmm} 2) \mathrm{k}
◯ a) (600 \mathrm{kgm} 2) \mathrm{k}, \mathrm{b})(820 \mathrm{kmm} 2) \mathrm{k}
◯ a) (500 \mathrm{kgm} 2) \mathrm{k}, \mathrm{b})(620 \mathrm{kmm} 2) \mathrm{k}

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas quantidades claras.
Dados (peguei todos do enunciado):
  • Massa: m=2{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade com componentes: v_x=30\\ \mathrm{m/s} e v_y=60\\ \mathrm{m/s}.
  • Posição do objeto no instante considerado: \mathbf{r}=(3{,}0,\,-4{,}0)\\ \mathrm{m}. (ou seja x=3{,}0\\ \mathrm{m} e y=-4{,}0\\ \mathrm{m}).
O que o enunciado pede:
(a) O momento angular do objeto em relação à origem, expresso em termos dos vetores unitários (isto é, em \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}).
(b) O momento angular do objeto em relação ao ponto (-2{,}0,\,-2{,}0)\\ \mathrm{m}, também em termos dos vetores unitários.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Momento linear (quantidade de movimento) é \mathbf{p}=m\mathbf{v}. Aqui \mathbf{v}=(v_x,v_y,0).
  • Momento angular de uma partícula relativa a um ponto com vetor posição \mathbf{r} é o produto vetorial
\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}.
Explicando o produto vetorial de forma simples: se \mathbf{r}=(x,y,0) e \mathbf{p}=(p_x,p_y,0) (vetores no plano xy), então o produto vetorial aponta para a direção \mathbf{k} (para cima ou para baixo) e o seu módulo/correspondente z é dado por
L_z = x p_y - y p_x.
Portanto, no caso planar a expressão vetorial fica
\mathbf{L} = \bigl(0,0,\,x p_y - y p_x\bigr) = \bigl(x p_y - y p_x\bigr)\,\mathbf{k}.
Observação: as componentes \mathbf{i} e \mathbf{j} se anulam porque \mathbf{r} e \mathbf{p} estão no plano xy.

Passo 3

Calcular o momento linear \mathbf{p} (passo intermediário necessário):
  • Primeiro escrever a velocidade em vetor: \mathbf{v}=(v_x,v_y,0) = (30,\,60,\,0)\\ \mathrm{m/s}.
  • Logo
\mathbf{p}=m\mathbf{v}=2{,}0\cdot(30,\,60,\,0)=(60,\,120,\,0)\\ \mathrm{kg\;m/s}.
Cada componente ficou: p_x=60\\ \mathrm{kg\;m/s}, p_y=120\\ \mathrm{kg\;m/s}.

Passo 4

Momento angular em relação à origem (parte a). Aplicar \mathbf{r}=(3{,}0,\,-4{,}0,\,0) e \mathbf{p}=(60,\,120,\,0).
Calcular a componente z:
L_z = x p_y - y p_x.
Substituindo valores:
x p_y = 3{,}0 \times 120 = 360,
y p_x = (-4{,}0) \times 60 = -240.
Portanto
L_z = 360 - (-240) = 360 + 240 = 600.
Unidade: \mathrm{kg\;m^2/s}. Assim o vetor momento angular é
\mathbf{L}_{\text{origem}} = 600\,\mathbf{k}\quad(\mathrm{kg\;m^2/s}).

Passo 5

Momento angular em relação ao ponto (-2{,}0,\,-2{,}0) (parte b). Primeiro calculamos o vetor posição relativo a esse ponto:
\mathbf{r}'=\mathbf{r}-\mathbf{r}_0 = (3{,}0-(-2{,}0),\,-4{,}0-(-2{,}0),\,0)=(5{,}0,\,-2{,}0,\,0)\\ \mathrm{m}.
Agora aplicamos a mesma fórmula com \mathbf{r}'=(5{,}0,\,-2{,}0) e \mathbf{p}=(60,\,120,\,0).
Calcular L'_z:
x' p_y = 5{,}0 \times 120 = 600,
y' p_x = (-2{,}0) \times 60 = -120.
Logo
L'_z = 600 - (-120) = 600 + 120 = 720.
Unidade: \mathrm{kg\;m^2/s}. Assim
\mathbf{L}_{\text{(-2,-2)}} = 720\,\mathbf{k}\quad(\mathrm{kg\;m^2/s}).

Resposta

\mathbf{L}_{\text{origem}} = 600\,\mathbf{k}\\ \mathrm{kg\;m^2/s}
\mathbf{L}_{\text{(-2{,}0,\,-2{,}0)}} = 720\,\mathbf{k}\\ \mathrm{kg\;m^2/s}

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