Observação: Resolva de forma elegante as questões.
Achar o trabalho realizado quando um objeto se desloca ao longo do vetor \mathbf{r}=3 i+2 j-5 k, se a força aplicada é \mathbf{F}=2 \mathrm{i}-\mathrm{j}-\mathrm{k}.

Passo 1

O enunciado pede: achar o trabalho realizado quando um objeto se desloca ao longo do vetor \mathbf{r}=3\mathbf{i}+2\mathbf{j}-5\mathbf{k}, sob a ação da força \mathbf{F}=2\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k}.
Informações dadas:
  • Vetor deslocamento: \mathbf{r}=3\mathbf{i}+2\mathbf{j}-5\mathbf{k}.
  • Vetor força: \mathbf{F}=2\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k}.
  • Quer-se o trabalho realizado por \mathbf{F} ao longo de \mathbf{r}.

Passo 2

Conceito-chave (explicado devagarzinho): quando uma força constante \mathbf{F} atua e o ponto sofre um deslocamento \mathbf{r}, o trabalho W realizado é dado pelo produto escalar (dot product) entre \mathbf{F} e \mathbf{r}.
Definição do produto escalar em componentes: se
\mathbf{a}=a_x\mathbf{i}+a_y\mathbf{j}+a_z\mathbf{k}, \qquad \mathbf{b}=b_x\mathbf{i}+b_y\mathbf{j}+b_z\mathbf{k},
então
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.
Interpretação geométrica (bônus): também vale
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre os vetores. Para o trabalho: W=\mathbf{F}\cdot\mathbf{r}=|\mathbf{F}|\,|\mathbf{r}|\cos\theta. Aqui |\cdot| indica norma (comprimento) do vetor.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula do produto escalar aos vetores fornecidos. Primeiro extraímos as componentes:
\mathbf{F}=(F_x,F_y,F_z)=(2,-1,-1), \qquad \mathbf{r}=(r_x,r_y,r_z)=(3,2,-5).
O produto escalar é
\mathbf{F}\cdot\mathbf{r}=F_x r_x + F_y r_y + F_z r_z.

Passo 4

Calculando término a término:
F_x r_x = 2\cdot 3 = 6,
F_y r_y = (-1)\cdot 2 = -2,
F_z r_z = (-1)\cdot (-5) = 5.
Somando:
W=\mathbf{F}\cdot\mathbf{r}=6 + (-2) + 5 = 9.
Comentário curto e encorajador: portanto o trabalho realizado é \,9 (unidades dependem das unidades de \mathbf{F} e \mathbf{r}; por exemplo, se \mathbf{F} está em newtons e \mathbf{r} em metros, W estaria em joules). Boa — foi só produto escalar!

Resposta

9

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