39.85 •• DADOS Como um astrônomo amador, você está estudando o brilho aparente das estrelas. Você sabe que o brilho aparente de uma estrela depende de sua distância da Terra e também da fração de sua energia radiada que está na região visível do espectro eletromagnético. Porém, como primeiro passo, você pesquisa informações na Internet sobre as temperaturas na superfície e os raios de algumas estrelas selecionadas, para que possa calcular sua potência irradiada total. Você encontra os dados da tabela a seguir.
Estrela Polaris Vega Antares \alpha Centauro B
Temperatura
na superfície
(K)
6.015 9.602 3.400 5.260
Raio relativo
ao do sol \left(\boldsymbol{R}_{\text {sol }}\right)
46 2,73 883 0,865
O raio é dado em unidades do raio do Sol, R_{\text {sol }}=6,96 \times 10^{8} \mathrm{~m}. A temperatura na superfície é a temperatura efetiva que indica a luminosidade do fóton medida da estrela se esta irradiar como um corpo negro ideal. A luminosidade do fóton é a potência emitida na forma de fótons. (a) Qual estrela na tabela tem a maior potência irradiada? (b) Para qual dessas estrelas (se houver alguma) o comprimento de onda máximo \lambda_{\mathrm{m}} está na faixa visível (380-750 \mathrm{~nm}) ? (c) O Sol tem uma potência irradiada total de 3,85 \times 10^{26} \mathrm{~W}. Qual dessas estrelas (se houver alguma) possui uma potência irradiada total menor que a do Sol?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei todos da tabela do enunciado):
  • Raio do Sol: R_{\odot}=6,96\times10^{8}\\ \mathrm{m}.
  • Luminosidade total do Sol: L_{\odot}=3,85\times10^{26}\\ \mathrm{W}.
  • Para cada estrela temos a temperatura efetiva na superfície T e o raio relativo R/R_{\odot}:
    • Polaris: T=6.015\\ \mathrm{K}, R/R_{\odot}=46.
    • Vega: T=9.602\\ \mathrm{K}, R/R_{\odot}=2,73.
    • Antares: T=3.400\\ \mathrm{K}, R/R_{\odot}=883.
    • \alpha Centauro B: T=5.260\\ \mathrm{K}, R/R_{\odot}=0,865.
O problema pergunta:
(a) Qual estrela da tabela tem a maior potência irradiada (luminosidade total)?
(b) Para quais dessas estrelas o comprimento de onda de pico \lambda_{\mathrm{m}} está na faixa visível (380\text{ nm} \text{ a } 750\text{ nm})?
(c) Qual(is) dessas estrelas (se houver) possuem potência irradiada total menor que a do Sol?

Passo 2

Fórmulas e ideias que vou usar (explicadas passo a passo).
  1. Lei de Stefan–Boltzmann para um corpo negro: a potência total irradiada por uma esfera que se comporta como corpo negro é
L=4\pi R^{2}\sigma T^{4},
onde:
  • L é a luminosidade (potência total, em \mathrm{W});
  • R é o raio da estrela (em \mathrm{m});
  • \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann, \sigma\approx5,67\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}};
  • T é a temperatura efetiva da superfície (em \mathrm{K}).
Observação prática para a prova: não é preciso calcular 4\pi\sigma explicitamente, porque podemos comparar luminosidades usando razões. Dividindo pela luminosidade solar obtemos
\frac{L}{L_{\odot}}=\left(\frac{R}{R_{\odot}}\right)^{2}\left(\frac{T}{T_{\odot}}\right)^{4},
onde T_{\odot} é a temperatura efetiva do Sol. Vou usar T_{\odot}=5778\\ \mathrm{K} (valor padrão). Isso evita trabalhar com números muito grandes na conta.
  1. Lei de deslocamento de Wien (para o pico do espectro de corpo negro):
\lambda_{\mathrm{m}}=\frac{b}{T},
onde b é a constante de Wien b\approx2,898\times10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K}. Aqui \lambda_{\mathrm{m}} vem em metros; para passar a nm multiplica-se por 10^{9}.

Passo 3

Calcular a luminosidade de Polaris relativamente ao Sol e em \mathrm{W}.
  1. Razão de temperaturas:
\frac{T}{T_{\odot}}=\frac{6.015}{5.778}\approx1,0413.
  1. Quarta potência:
\left(\frac{T}{T_{\odot}}\right)^{4}\approx(1,0413)^{4}\approx1,1756.
  1. Raio ao quadrado:
\left(\frac{R}{R_{\odot}}\right)^{2}=46^{2}=2\,116.
  1. Razão das luminosidades:
\frac{L}{L_{\odot}}=2\,116\times1,1756\approx2\,490.
  1. Luminosidade absoluta:
L_{\text{Polaris}}\approx2\,490\times L_{\odot}\approx2\,490\times3,85\times10^{26}\\ \mathrm{W}\approx9,59\times10^{29}\\ \mathrm{W}.

Passo 4

Calcular a luminosidade de Vega.
  1. \displaystyle\frac{T}{T_{\odot}}=\frac{9.602}{5.778}\approx1,6619.
  2. \displaystyle\left(\frac{T}{T_{\odot}}\right)^{4}\approx(1,6619)^{4}\approx7,687.
  3. \displaystyle\left(\frac{R}{R_{\odot}}\right)^{2}=2,73^{2}\approx7,4529.
  4. \displaystyle\frac{L}{L_{\odot}}=7,4529\times7,687\approx57,27.
  5. \displaystyle L_{\text{Vega}}\approx57,27\times3,85\times10^{26}\\ \mathrm{W}\approx2,21\times10^{28}\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Calcular a luminosidade de Antares.
  1. \displaystyle\frac{T}{T_{\odot}}=\frac{3.400}{5.778}\approx0,5886.
  2. \displaystyle\left(\frac{T}{T_{\odot}}\right)^{4}\approx(0,5886)^{4}\approx0,1197.
  3. \displaystyle\left(\frac{R}{R_{\odot}}\right)^{2}=883^{2}=779\,689.
  4. \displaystyle\frac{L}{L_{\odot}}=779\,689\times0,1197\approx93\,355.
  5. \displaystyle L_{\text{Antares}}\approx93\,355\times3,85\times10^{26}\\ \mathrm{W}\approx3,59\times10^{31}\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Calcular a luminosidade de \alpha Centauro B.
  1. \displaystyle\frac{T}{T_{\odot}}=\frac{5.260}{5.778}\approx0,9105.
  2. \displaystyle\left(\frac{T}{T_{\odot}}\right)^{4}\approx(0,9105)^{4}\approx0,687.
  3. \displaystyle\left(\frac{R}{R_{\odot}}\right)^{2}=0,865^{2}\approx0,7482.
  4. \displaystyle\frac{L}{L_{\odot}}=0,7482\times0,687\approx0,514.
  5. \displaystyle L_{\alpha\text{ Cen B}}\approx0,514\times3,85\times10^{26}\\ \mathrm{W}\approx1,98\times10^{26}\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Comparação das luminosidades (resumo numérico aproximado que acabamos de obter):
  • L_{\text{Antares}}\approx3,59\times10^{31}\\ \mathrm{W}.
  • L_{\text{Polaris}}\approx9,59\times10^{29}\\ \mathrm{W}.
  • L_{\text{Vega}}\approx2,21\times10^{28}\\ \mathrm{W}.
  • L_{\alpha\text{ Cen B}}\approx1,98\times10^{26}\\ \mathrm{W}.
Da lista, a maior potência irradiada é claramente a de Antares (muito maior que as demais). Assim a resposta para (a) será Antares.

Passo 8

Calcular o comprimento de onda de pico \lambda_{\mathrm{m}} para cada estrela usando Wien:
\lambda_{\mathrm{m}}=\frac{b}{T},\qquad b=2,898\times10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K}.
Faço as contas e converto para nm ( 1\\ \mathrm{m}=10^{9}\\ \mathrm{nm}).
  • Polaris: \displaystyle\lambda_{\mathrm{m}}=\frac{2,898\times10^{-3}}{6.015}\\ \mathrm{m}\approx4,818\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=482\\ \mathrm{nm}. (está na faixa visível 380\text{–}750\\ \mathrm{nm}).
  • Vega: \displaystyle\lambda_{\mathrm{m}}=\frac{2,898\times10^{-3}}{9.602}\\ \mathrm{m}\approx3,017\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=302\\ \mathrm{nm}. (ultravioleta, fora da faixa visível).
  • Antares: \displaystyle\lambda_{\mathrm{m}}=\frac{2,898\times10^{-3}}{3.400}\\ \mathrm{m}\approx8,523\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=852\\ \mathrm{nm}. (infravermelho, fora da faixa visível).
  • \alpha Centauro B: \displaystyle\lambda_{\mathrm{m}}=\frac{2,898\times10^{-3}}{5.260}\\ \mathrm{m}\approx5,507\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=551\\ \mathrm{nm}. (está na faixa visível).
Portanto as estrelas cujo \lambda_{\mathrm{m}} está no intervalo 380\text{–}750\\ \mathrm{nm} são Polaris e \alpha Centauro B.

Passo 9

Responder a (c): comparar com a luminosidade do Sol L_{\odot}=3,85\times10^{26}\\ \mathrm{W}.
Das luminosidades calculadas:
  • L_{\alpha\text{ Cen B}}\approx1,98\times10^{26}\\ \mathrm{W}<L_{\odot}.
  • As outras três (Vega, Polaris, Antares) têm L muito maiores que L_{\odot}.
Logo, a única estrela da tabela com potência total menor que a do Sol é \alpha Centauro B.

Resposta

(a) Antares
(b) Polaris
\alpha Centauro B
(c) \alpha Centauro B

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