39.85 •• DADOS Como um astrônomo amador, você está estudando o brilho aparente das estrelas. Você sabe que o brilho aparente de uma estrela depende de sua distância da Terra e também da fração de sua energia radiada que está na região visível do espectro eletromagnético. Porém, como primeiro passo, você pesquisa informações na Internet sobre as temperaturas na superfície e os raios de algumas estrelas selecionadas, para que possa calcular sua potência irradiada total. Você encontra os dados da tabela a seguir.
Estrela
Polaris
Vega
Antares
Centauro B
Temperatura
na superfície
(K)
6.015
9.602
3.400
5.260
Raio relativo
ao do sol
46
2,73
883
0,865
O raio é dado em unidades do raio do Sol,
. A temperatura na superfície é a temperatura efetiva que indica a luminosidade do fóton medida da estrela se esta irradiar como um corpo negro ideal. A luminosidade do fóton é a potência emitida na forma de fótons. (a) Qual estrela na tabela tem a maior potência irradiada? (b) Para qual dessas estrelas (se houver alguma) o comprimento de onda máximo
está na faixa visível
? (c) O Sol tem uma potência irradiada total de
. Qual dessas estrelas (se houver alguma) possui uma potência irradiada total menor que a do Sol?
| Estrela | Polaris | Vega | Antares |
|
|||
|
6.015 | 9.602 | 3.400 | 5.260 | |||
|
46 | 2,73 | 883 | 0,865 |
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei todos da tabela do enunciado):
- Raio do Sol:
. - Luminosidade total do Sol:
. - Para cada estrela temos a temperatura efetiva na superfície
e o raio relativo : - Polaris:
, . - Vega:
, . - Antares:
, . -
Centauro B: , .
- Polaris:
O problema pergunta:
(a) Qual estrela da tabela tem a maior potência irradiada (luminosidade total)?
(b) Para quais dessas estrelas o comprimento de onda de pico está na faixa visível
?
(c) Qual(is) dessas estrelas (se houver) possuem potência irradiada total menor que a do Sol?
(a) Qual estrela da tabela tem a maior potência irradiada (luminosidade total)?
(b) Para quais dessas estrelas o comprimento de onda de pico
(c) Qual(is) dessas estrelas (se houver) possuem potência irradiada total menor que a do Sol?
Passo 2
Fórmulas e ideias que vou usar (explicadas passo a passo).
- Lei de Stefan–Boltzmann para um corpo negro: a potência total irradiada por uma esfera que se comporta como corpo negro é
onde:
-
é a luminosidade (potência total, em ); -
é o raio da estrela (em ); -
é a constante de Stefan–Boltzmann, ; -
é a temperatura efetiva da superfície (em ).
Observação prática para a prova: não é preciso calcular
explicitamente, porque podemos comparar luminosidades usando razões. Dividindo pela luminosidade solar obtemos
onde
é a temperatura efetiva do Sol. Vou usar
(valor padrão). Isso evita trabalhar com números muito grandes na conta.
- Lei de deslocamento de Wien (para o pico do espectro de corpo negro):
onde
é a constante de Wien
. Aqui
vem em metros; para passar a nm multiplica-se por
.
Passo 3
Calcular a luminosidade de Polaris relativamente ao Sol e em
.
- Razão de temperaturas:
- Quarta potência:
- Raio ao quadrado:
- Razão das luminosidades:
- Luminosidade absoluta:
Passo 4
Calcular a luminosidade de Vega.
Passo 5
Calcular a luminosidade de Antares.
Passo 6
Calcular a luminosidade de
Centauro B.
Passo 7
Comparação das luminosidades (resumo numérico aproximado que acabamos de obter):
-
. -
. -
. -
.
Da lista, a maior potência irradiada é claramente a de Antares (muito maior que as demais). Assim a resposta para (a) será Antares.
Passo 8
Calcular o comprimento de onda de pico
para cada estrela usando Wien:
Faço as contas e converto para nm (
).
-
Polaris:
(está na faixa visível ). -
Vega:
(ultravioleta, fora da faixa visível). -
Antares:
(infravermelho, fora da faixa visível). -
Centauro B: (está na faixa visível).
Portanto as estrelas cujo
está no intervalo
são Polaris e
Centauro B.
Passo 9
Responder a (c): comparar com a luminosidade do Sol
.
Das luminosidades calculadas:
-
. - As outras três (Vega, Polaris, Antares) têm
muito maiores que .
Logo, a única estrela da tabela com potência total menor que a do Sol é
Centauro B.
Resposta
(a) Antares
(b) Polaris
Centauro B
(c)
Centauro B