Suponha que um cientista encontra o valor energético de um determinado processo em função temperatura, dada por
E(T)=20 T^{2} e^{-0.05 T^{2}}
Calcule a temperatura, em Fahrenheit, da maior energia possível desse processo
(a) 24^{\circ}
(b) 4.47^{\circ}
(c) 39.2^{\circ}
(d) 40.05^{\circ}
(e) N.D.A.

Passo 1

O enunciado fornece a energia do processo em função da temperatura:
E(T)=20\,T^{2}e^{-0.05T^{2}}
e pede: qual é a temperatura, em Fahrenheit, na qual a energia é máxima? As alternativas são (a) 24^\circ, (b) 4{,}47^\circ, \text{(c)} 39{,}2^\circ, (d) 40{,}05^\circ, (e) N.D.A.
Vou procurar o(s) ponto(s) crítico(s) de E(T) e identificar o máximo; em seguida converto a temperatura para Fahrenheit. Aqui assumi que a variável T está em graus Celsius (padrão quando não especificado), e depois faço a conversão para Fahrenheit.

Passo 2

Método: máximos e mínimos de funções suaves aparecem onde a derivada é zero ou não existe. Aqui a função é suave, então calculamos a derivada E'(T) e resolvemos E'(T)=0.
Ferramentas de cálculo que usamos:
  • Regra do produto: se u(T) e v(T) são funções, \dfrac{d}{dT}[u v]=u'v+u v'.
  • Regra da cadeia para exponenciais: se h(T)=e^{g(T)} então h'(T)=g'(T)e^{g(T)}.
  • Derivada de potência: \dfrac{d}{dT}T^{2}=2T.
Aplicaremos isso a E(T)=20\cdot \big(T^{2}\big)\cdot e^{-0.05T^{2}}.

Passo 3

Calculemos E'(T) passo a passo usando a regra do produto (aplicada a T^{2} e e^{-0.05T^{2}}), e lembrando do fator constante 20:
E'(T)=20\cdot\frac{d}{dT}\big(T^{2}e^{-0.05T^{2}}\big).
Pela regra do produto,
\frac{d}{dT}\big(T^{2}e^{-0.05T^{2}}\big)= (2T)\,e^{-0.05T^{2}} + T^{2}\,\frac{d}{dT}\big(e^{-0.05T^{2}}\big).
Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dT}\big(e^{-0.05T^{2}}\big)=(-0.1T)\,e^{-0.05T^{2}}.
Substituindo,
\frac{d}{dT}\big(T^{2}e^{-0.05T^{2}}\big) = 2T\,e^{-0.05T^{2}} + T^{2}\cdot(-0.1T)\,e^{-0.05T^{2}}.
Fatorando e^{-0.05T^{2}} e T:
\frac{d}{dT}\big(T^{2}e^{-0.05T^{2}}\big) = e^{-0.05T^{2}}\,T\left(2 - 0.1T^{2}\right).
Multiplicando pelo 20,
E'(T)=20\,e^{-0.05T^{2}}\,T\left(2 - 0.1T^{2}\right).

Passo 4

Encontrando os pontos críticos: impondo E'(T)=0. O fator 20 e e^{-0.05T^{2}} nunca são zero, então as soluções vêm de
T=0 \qquad\text{ou}\qquad 2-0.1T^{2}=0.
Da segunda equação:
0.1T^{2}=2 \quad\Rightarrow\quad T^{2}=20 \quad\Rightarrow\quad T=\pm\sqrt{20}.
Numericamente,
\sqrt{20}\approx 4{,}4721.
Temos três pontos críticos: T=0, T\approx -4{,}4721 e T\approx 4{,}4721. Para decidir qual dá máximo, examinamos o sinal de E'(T): para 0<T<\sqrt{20} o fator 2-0.1T^{2}>0 e T>0 então E'(T)>0 (função crescente); para T>\sqrt{20} temos 2-0.1T^{2}<0 e T>0 então E'(T)<0 (função decrescente). Logo em T=\sqrt{20} ocorre um máximo local (e global positivo). Assim a temperatura (em Celsius) que maximiza E é
T_{\max}=\sqrt{20}\approx 4{,}4721^\circ\text{C}.

Passo 5

Converter para Fahrenheit usando a fórmula de conversão:
F=\frac{9}{5}C+32.
Com C=4{,}4721,
F=\frac{9}{5}\cdot 4{,}4721 + 32 = 1{,}8\cdot 4{,}4721 + 32 \approx 8{,}0498 + 32 = 40{,}0498.
Arredondando razoavelmente,
F\approx 40{,}05^\circ\text{F}.
Isso corresponde à alternativa (d).

Resposta

(d) 40{,}05^\circ

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