39.78 •• Um certo átomo possui nível de energia 3,50 eV acima do nível fundamental. Uma vez excitado até esse nível, o átomo permanece nele durante
em média antes de emitir um fóton e retornar ao nível fundamental. (a) Quais são a energia e o comprimento de onda do fóton? (b) Qual é a menor incerteza possível na energia do fóton?
Passo 1
Lista clara do que o enunciado dá e do que pede (peguei estes números do enunciado):
- Nível de energia acima do fundamental:
. - Tempo médio que o átomo permanece no nível excitado (tempo de vida):
.
O enunciado pede:
(a) a energia e o comprimento de onda do fóton emitido quando o átomo retorna ao nível fundamental;
(b) a menor incerteza possível na energia do fóton, dada a vida média do nível excitado.
Passo 2
Entendendo a relação física que vamos usar para (a). Quando o átomo decai do nível excitado para o fundamental, a energia do fóton emitido é igual à diferença de energia entre os níveis. Em símbolos:
Para converter energia em elétron-volts para joules usamos
Para obter o comprimento de onda usamos a relação de Planck:
onde
é a constante de Planck e
a velocidade da luz. Valores que usaremos:
Passo 3
Converter a energia do fóton de
para joules e apresentar
.
Passo 4
Calcular o comprimento de onda
usando
. Primeiro calcule
:
Agora
Convertendo para nanômetros (
):
Passo 5
Resumo parcial (resposta de (a) com interpretação curta):
- A energia do fóton é exatamente a diferença de níveis, ou seja
, que corresponde a . - O comprimento de onda calculado pela relação
é (aproximadamente ). Esse valor está na faixa próxima do ultravioleta/visível próximo.
Passo 6
Agora (b): explicar e aplicar o princípio da incerteza energia-tempo. A forma usada aqui é
onde
é a constante de Planck reduzida. Interpretação prática: dado um tempo de vida média
do estado excitado, a menor incerteza possível na energia associada ao fóton é obtida tomando
e a igualdade na relação (valor mínimo ideal):
Valor numérico de
:
Passo 7
Calcular
usando
.
Converter esse valor para elétron-volts:
Passo 8
Interpretação final e encorajamento. A incerteza mínima obtida é extremamente pequena comparada à energia do fóton (
), o que é esperado para tempos de vida relativamente longos (
). Bom trabalho — já dá pra anotar isso direitinho na folha da prova!
Resposta
(a) Energia do fóton:
; comprimento de onda:
.\n(b) Menor incerteza possível na energia:
.