39.78 •• Um certo átomo possui nível de energia 3,50 eV acima do nível fundamental. Uma vez excitado até esse nível, o átomo permanece nele durante 2,0 \mu \mathrm{~s} em média antes de emitir um fóton e retornar ao nível fundamental. (a) Quais são a energia e o comprimento de onda do fóton? (b) Qual é a menor incerteza possível na energia do fóton?

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e do que pede (peguei estes números do enunciado):
  • Nível de energia acima do fundamental: \Delta E_{\text{nível}} = 3,50\\ \text{eV}í.
  • Tempo médio que o átomo permanece no nível excitado (tempo de vida): \tau = 2,0\\ \mu\mathrm{s}.
    O enunciado pede:
    (a) a energia e o comprimento de onda do fóton emitido quando o átomo retorna ao nível fundamental;
    (b) a menor incerteza possível na energia do fóton, dada a vida média do nível excitado.

Passo 2

Entendendo a relação física que vamos usar para (a). Quando o átomo decai do nível excitado para o fundamental, a energia do fóton emitido é igual à diferença de energia entre os níveis. Em símbolos:
E_{\text{fóton}}=\Delta E_{\text{nível}}.óí
Para converter energia em elétron-volts para joules usamos
1\\ \text{eV} = 1,602176634\times10^{-19}\\ \text{J}.
Para obter o comprimento de onda usamos a relação de Planck:
\lambda=\frac{h c}{E},
onde h é a constante de Planck e c a velocidade da luz. Valores que usaremos:
h = 6,62607015\times10^{-34}\\ \text{J·s},\qquad c = 2,99792458\times10^{8}\\ \text{m/s}.

Passo 3

Converter a energia do fóton de \text{eV} para joules e apresentar E_{\text{fóton}}ó.
E_{\text{fóton}} = 3,50\\ \text{eV} = 3,50\times\bigl(1,602176634\times10^{-19}\\ \text{J}\bigr)ó
E_{\text{fóton}} = 5,607618219\times10^{-19}\\ \text{J}.ó

Passo 4

Calcular o comprimento de onda \lambda usando \lambda = \dfrac{hc}{E}. Primeiro calcule hc:
h c = \bigl(6,62607015\times10^{-34}\bigr)\cdot\bigl(2,99792458\times10^{8}\bigr)
h c = 1,986445857\times10^{-25}\\ \text{J·m}.
Agora
\lambda = \frac{1,986445857\times10^{-25}}{5,607618219\times10^{-19}} = 3,543343\times10^{-7}\\ \text{m}.
Convertendo para nanômetros ( 1\\ \text{nm}=10^{-9}\\ \text{m}):
\lambda = 3,543343\times10^{-7}\\ \text{m} = 354\\ \text{nm}\\ \text{(aprox.)}.

Passo 5

Resumo parcial (resposta de (a) com interpretação curta):
  • A energia do fóton é exatamente a diferença de níveis, ou seja \,3,50\\ \text{eV}\,, que corresponde a \,5,6076\times10^{-19}\\ \text{J}\,.
  • O comprimento de onda calculado pela relação \lambda = hc/E é \,3,54\times10^{-7}\\ \text{m}\, (aproximadamente \,354\\ \text{nm}\,). Esse valor está na faixa próxima do ultravioleta/visível próximo.

Passo 6

Agora (b): explicar e aplicar o princípio da incerteza energia-tempo. A forma usada aqui é
\Delta E\,\Delta t \gtrsim \frac{\hbar}{2},
onde \hbar = \dfrac{h}{2\pi} é a constante de Planck reduzida. Interpretação prática: dado um tempo de vida média \tau do estado excitado, a menor incerteza possível na energia associada ao fóton é obtida tomando \Delta t=\tau e a igualdade na relação (valor mínimo ideal):
\Delta E_{\min} = \frac{\hbar}{2\,\tau}.
Valor numérico de \hbar:
\hbar = 1,054571817\times10^{-34}\\ \text{J·s}.

Passo 7

Calcular \Delta E_{\min} usando \tau = 2,0\\ \mu\mathrm{s}=2,0\times10^{-6}\\ \text{s}.
\Delta E_{\min} = \frac{1,054571817\times10^{-34}}{2\cdot\bigl(2,0\times10^{-6}\bigr)}
\Delta E_{\min} = \frac{1,054571817\times10^{-34}}{4,0\times10^{-6}} = 2,636429543\times10^{-29}\\ \text{J}.
Converter esse valor para elétron-volts:
\Delta E_{\min} = \frac{2,636429543\times10^{-29}}{1,602176634\times10^{-19}}\\ \text{eV} = 1,645\times10^{-10}\\ \text{eV}.

Passo 8

Interpretação final e encorajamento. A incerteza mínima obtida é extremamente pequena comparada à energia do fóton ( 3,50\\ \text{eV}), o que é esperado para tempos de vida relativamente longos ( \mu\mathrm{s}). Bom trabalho — já dá pra anotar isso direitinho na folha da prova!

Resposta

(a) Energia do fóton: \,E_{\text{fóton}}=3,50\\ \text{eV}=5,6076\times10^{-19}\\ \text{J}\,ó; comprimento de onda: \,\lambda=3,54\times10^{-7}\\ \text{m}\approx354\\ \text{nm}.\n(b) Menor incerteza possível na energia: \,\Delta E_{\min}=2,6364\times10^{-29}\\ \text{J}=1,65\times10^{-10}\\ \text{eV}.

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