9.39 A área sombreada é igual a 31.250 \mathrm{~mm}^{2}. Determine os momentos centroidais de inércia \bar{I}_{x} e \bar{I}_{y p} sabendo que \bar{I}_{x}=2 \bar{I}_{y} e que o momento de inércia da área sobre o ponto A é J_{A}=878 \times 10^{6} \mathrm{~mm}^{4}.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar os momentos centroidais de inércia \bar{I}_{x} e \bar{I}_{y_p}.
Informações fornecidas (vou listar tudo o que o enunciado e a figura dão):
  • A área da região é A=31.250\\ \mathrm{mm}^2 (dado no enunciado).
  • O momento de inércia da área em torno do ponto A é J_{A}=878\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4 (dado no enunciado).
  • A relação entre os momentos centroidais é \bar{I}_{x}=2\,\bar{I}_{y} (dado no enunciado).
  • Da figura (peguei esse dado da imagem): o ponto A está localizado a 150\\ \mathrm{mm} abaixo do centro C (isto é, a distância vertical entre o eixo x que passa por C e o ponto A é 150\\ \mathrm{mm}).
  • Da figura (peguei da imagem): A está alinhado verticalmente com C (ou seja, a distância horizontal entre as linhas verticais que passam por C e por A é zero).

Passo 2

Entender o que é J_{A} e quais fórmulas vamos usar (aula rápida):
  • J_{A} é o momento polar da área em torno do ponto A; para uma área plana, o momento polar em um ponto é a soma dos momentos de segunda ordem em torno de dois eixos perpendiculares que se cruzam nesse ponto. Assim, se chamarmos de I_{x,A} o momento de inércia em torno do eixo horizontal que passa por A e de I_{y,A} o momento de inércia em torno do eixo vertical que passa por A, então
J_{A}=I_{x,A}+I_{y,A}.
  • A regra do eixo paralelo (teorema dos eixos paralelos) diz que, para deslocar um eixo paralelo a uma distância d, o momento de inércia se ajusta por:
I_{\text{deslocado}}=\bar{I} + A d^{2},
onde \bar{I} é o momento de inércia em torno do eixo que passa pelo centróide e A é a área. Aqui d é a distância entre os eixos (medida perpendicularmente).
Explicando as variáveis para não restar dúvida:
  • \bar{I}_{x} é o momento de segunda ordem em torno do eixo x que passa por C (horizontal pelo centróide).
  • \bar{I}_{y} é o momento de segunda ordem em torno do eixo y que passa por C (vertical pelo centróide).
  • I_{x,A} é o momento de segunda ordem em torno do eixo horizontal que passa por A.
  • I_{y,A} é o momento de segunda ordem em torno do eixo vertical que passa por A.

Passo 3

Aplicar o teorema dos eixos paralelos aos eixos através de A:
  • Distâncias entre eixos (peguei da imagem):
    • Distância vertical entre o eixo x em C e o eixo horizontal em A é d_{y}=150\\ \mathrm{mm}.
    • Distância horizontal entre o eixo y em C e o eixo vertical em A é d_{x}=0\\ \mathrm{mm} (porque A está embaixo de C na mesma linha vertical).
  • Aplicando o teorema:
I_{x,A}=\bar{I}_{x}+A d_{y}^{2}=\bar{I}_{x}+A(150)^{2},
I_{y,A}=\bar{I}_{y}+A d_{x}^{2}=\bar{I}_{y}+A(0)^{2}=\bar{I}_{y}.

Passo 4

Escrever J_{A} em função dos momentos centroidais:
J_{A}=I_{x,A}+I_{y,A}=(\bar{I}_{x}+A(150)^{2})+\bar{I}_{y}.
Usando a relação fornecida \bar{I}_{x}=2\bar{I}_{y}, substituo \bar{I}_{x} na expressão:
J_{A}=2\bar{I}_{y}+\bar{I}_{y}+A(150)^{2}=3\bar{I}_{y}+A(150)^{2}.
Isolando \bar{I}_{y}:
\bar{I}_{y}=\dfrac{J_{A}-A(150)^{2}}{3}.

Passo 5

Substituir os valores numéricos e efetuar as contas (mostrando as etapas aritméticas):
  • Calcular A(150)^{2}:
(150)^{2}=22\,500,
A(150)^{2}=31.250\times22.500.
Fazendo a multiplicação em etapas:
31.250\times22.500=(31.250\times225)\times100.
31.250\times225 = 31.250\times(200+25)=31.250\times200 + 31.250\times25
=6.250.000 + 781.250 =7.031.250.
Multiplicando por 100:
A(150)^{2}=7.031.250\times100=703.125.000\\ \mathrm{mm}^4.
  • Subtrair de J_{A}:
J_{A}-A(150)^{2}=878.000.000 - 703.125.000 =174.875.000\\ \mathrm{mm}^4.
  • Dividir por 3 para obter \bar{I}_{y}:
\bar{I}_{y}=\dfrac{174.875.000}{3}=58.291.666{,}666\ldots\\ \mathrm{mm}^4.

Passo 6

Calcular \bar{I}_{x} usando \bar{I}_{x}=2\bar{I}_{y}:
\bar{I}_{x}=2\times58.291.666{,}666\ldots=116.583.333{,}333\ldots\\ \mathrm{mm}^4.

Passo 7

(Aconselhamento rápido para a prova) Como verificação simples, se somarmos I_{x,A}=\bar{I}_{x}+A(150)^2 com I_{y,A}=\bar{I}_{y} deve voltar J_{A}. Essa verificação fecha corretamente as contas (a soma dá 878\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4 conforme dado).

Resposta

\bar{I}_{x}=116.583.333{,}333\\ \mathrm{mm}^4
\bar{I}_{y_p}=58.291.666{,}667\\ \mathrm{mm}^4

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