9.39 A área sombreada é igual a
. Determine os momentos centroidais de inércia
e
sabendo que
e que o momento de inércia da área sobre o ponto
é
.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar os momentos centroidais de inércia
e .
Informações fornecidas (vou listar tudo o que o enunciado e a figura dão):
- A área da região é
(dado no enunciado). - O momento de inércia da área em torno do ponto
é (dado no enunciado). - A relação entre os momentos centroidais é
(dado no enunciado). - Da figura (peguei esse dado da imagem): o ponto
está localizado a abaixo do centro (isto é, a distância vertical entre o eixo que passa por e o ponto é ). - Da figura (peguei da imagem):
está alinhado verticalmente com (ou seja, a distância horizontal entre as linhas verticais que passam por e por é zero).
Passo 2
Entender o que é
e quais fórmulas vamos usar (aula rápida):
-
é o momento polar da área em torno do ponto ; para uma área plana, o momento polar em um ponto é a soma dos momentos de segunda ordem em torno de dois eixos perpendiculares que se cruzam nesse ponto. Assim, se chamarmos de o momento de inércia em torno do eixo horizontal que passa por e de o momento de inércia em torno do eixo vertical que passa por , então
- A regra do eixo paralelo (teorema dos eixos paralelos) diz que, para deslocar um eixo paralelo a uma distância
, o momento de inércia se ajusta por:
onde
é o momento de inércia em torno do eixo que passa pelo centróide e
é a área. Aqui
é a distância entre os eixos (medida perpendicularmente).
Explicando as variáveis para não restar dúvida:
-
é o momento de segunda ordem em torno do eixo que passa por (horizontal pelo centróide). -
é o momento de segunda ordem em torno do eixo que passa por (vertical pelo centróide). -
é o momento de segunda ordem em torno do eixo horizontal que passa por . -
é o momento de segunda ordem em torno do eixo vertical que passa por .
Passo 3
Aplicar o teorema dos eixos paralelos aos eixos através de
:
- Distâncias entre eixos (peguei da imagem):
- Distância vertical entre o eixo
em e o eixo horizontal em é . - Distância horizontal entre o eixo
em e o eixo vertical em é (porque está embaixo de na mesma linha vertical).
- Distância vertical entre o eixo
- Aplicando o teorema:
Passo 4
Escrever
em função dos momentos centroidais:
Usando a relação fornecida
, substituo
na expressão:
Isolando
:
Passo 5
Substituir os valores numéricos e efetuar as contas (mostrando as etapas aritméticas):
- Calcular
:
Fazendo a multiplicação em etapas:
Multiplicando por
:
- Subtrair de
:
- Dividir por
para obter :
Passo 6
Calcular
usando
:
Passo 7
(Aconselhamento rápido para a prova) Como verificação simples, se somarmos
com
deve voltar
. Essa verificação fecha corretamente as contas (a soma dá
conforme dado).