Exercicio 8.6
Sabendo que a parte central da haste B D tem uma seção transversal uniforme de área de 800 \mathrm{~mm}^{2}, determine a intensidade de carga P para que a tensão normal na parte de B D seja de 50 MPa.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado (peguei estes valores da imagem):
  • Pedido: determinar a intensidade da carga P para que a tensão normal na parte central da haste BD seja \,50\\ \text{MPa}.
  • Dados (extraídos da imagem):
    • Área da seção transversal da haste BD: A=800\\ \text{mm}^2.
    • Tensão desejada na haste BD: \sigma=50\\ \text{MPa}.
    • Comprimento da haste BD: BD=510\\ \text{mm}.
    • Projeção horizontal entre os pontos C e D: CD=240\\ \text{mm}.
    • Deslocamento horizontal entre a linha de ação de P (em A) e o apoio em C: 135\\ \text{mm}.
    • Distância vertical entre a linha do apoio superior e o ponto B: 450\\ \text{mm}.
  • Observação: todos os dados geométricos acima foram extraídos da figura fornecida; não foi necessário assumir nada além do que aparece na imagem.
  • Meta concreta: calcular P tal que a força axial em BD produza \sigma=50\\ \text{MPa}.

Passo 2

Relação tensão ↔ força axial. Explicando o conceito de tensão normal (aula rápida e prática):
  • A tensão normal média em uma seção é a força axial dividida pela área da seção.
  • Fórmula: \sigma = \frac{F_{BD}}{A},
onde \sigma é a tensão normal (unidades: \text{N}/\text{mm}^2 ou MPa), F_{BD} é a força axial na haste BD (unidades: N) e A é a área da seção (unidades: \text{mm}^2).
  • Assim, para obter a força axial necessária na haste BD basta isolar F_{BD}:
F_{BD} = \sigma \, A.
  • Vamos calcular F_{BD} exigida pela tensão pedida:
F_{BD} = \sigma \, A = 50\\ \text{MPa}\times 800\\ \text{mm}^2.
Nota sobre unidades: 1\\ \text{MPa}=1\\ \text{N}/\text{mm}^2, então o produto dá força em N.

Passo 3

Cálculo numérico de F_{BD}:
F_{BD} = 50\cdot 800 = 40000\\ \text{N}.
(ou seja, \,F_{BD}=40{,}0\\ \text{kN}).
Explicando: essa é a força axial que deve existir na haste BD para que sua tensão seja 50\\ \text{MPa}.

Passo 4

Relacionar a força axial em BD com a carga aplicada P. Estratégia e conceitos:
  • A haste BD é uma barra de dois apoios (membro biarticulado) e transmite uma força axial ao apoio em D. A reação vertical no apoio em D (no trilho superior) é igual à componente vertical da força axial em BD.
  • Fazer equilíbrio de momentos para todo o conjunto (todas as forças verticais) em torno do apoio C para encontrar a reação vertical em D, R_D. Assim isolamos a contribuição de D sem precisar conhecer a reação em C.
  • Equilíbrio de momentos em torno de C: a única força que cria momento além de P é a reação R_D aplicada a 240\\ \text{mm} de C. A carga P cria momento com braço horizontal 135\\ \text{mm}.
  • Fórmula do momento (somando momentos zero): R_D\cdot 240 = P\cdot 135.
Logo:
R_D = P\cdot\frac{135}{240}.

Passo 5

Relacionar R_D com F_{BD} usando as componentes geométricas da haste BD:
  • A componente vertical da força axial em BD é igual a F_{BD} vezes a razão entre a projeção vertical e o comprimento total:
\text{componente vertical de }F_{BD}=F_{BD}\cdot\frac{450}{510},
pois a projeção vertical de BD vale 450\\ \text{mm} e o comprimento total é 510\\ \text{mm}.
  • Essa componente vertical é exatamente a reação R_D (em módulo), então:
R_D = F_{BD}\cdot\frac{450}{510}.

Passo 6

Combinar as expressões para R_D e eliminar R_D, encontrando P em função de F_{BD}:
  • Das fórmulas anteriores:
P\cdot\frac{135}{240} = F_{BD}\cdot\frac{450}{510}.
  • Isolando P:
P = F_{BD}\cdot\frac{450}{510}\cdot\frac{240}{135}.
  • Simplificando frações (fácil de fazer sem calculadora):
\frac{450}{510}=\frac{45}{51}=\frac{15}{17},\qquad \frac{240}{135}=\frac{16}{9}.
Portanto
P = F_{BD}\cdot\frac{15}{17}\cdot\frac{16}{9} = F_{BD}\cdot\frac{15\cdot16}{17\cdot9} = F_{BD}\cdot\frac{240}{153} = F_{BD}\cdot\frac{80}{51}.

Passo 7

Substituir o valor numérico de F_{BD} e calcular P:
  • Já temos F_{BD}=40000\\ \text{N}. Assim
P = 40000\cdot\frac{80}{51} = \frac{3200000}{51}\\ \text{N}.
  • Calculando:
P \approx 62745{,}1\\ \text{N}\approx 62{,}7\\ \text{kN}.

Passo 8

Interpretação final e checagem rápida:
  • Resultado prático: para que a tensão em BD seja 50\\ \text{MPa} é preciso P\approx 62{,}7\\ \text{kN}.
  • Sinal e sentido: a haste BD estará solicitada à tração de magnitude 40{,}0\\ \text{kN} (a partir da tensão pedida); a carga P é maior porque parte do carregamento é repartido entre os apoios em C e D.

Resposta

P\approx 62{,}745{,}1\\ \text{N}\approx 62{,}7\\ \text{kN}

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