4.39. El transformador de dos devanados del problema 4.12 está conectado como autotransformador reductor de 600/120 V. Alimenta su carga especificada con un factor de potencia de 0.866 en adelanto. Determine su eficiencia y regulación del voltaje.

Passo 1

O enunciado que você me mandou diz o seguinte (copiado e organizado):
  • O transformador de dois devanados do problema 4.12 está conectado como autotransformador reductor de 600/120\\ \text{V}.
  • Alimenta sua carga especificada com fator de potência \text{pf}=0,866 em adiantamento (leading).
  • Pede-se: determinar a eficiência e a regulação de tensão.
Informações fornecidas explicitamente no enunciado atual:
  • Tensão primária/saída do autotransformador: 600/120\\ \text{V}.
  • Fator de potência da carga: \text{pf}=0,866 (leading).
Informações que faltam e que são necessárias para calcular eficiência e regulação (esses dados provavelmente estão no problema 4.12, que não foi enviado):
  • Potência aparente nominal do transformador ou potência da carga: S (kVA) ou P (kW) — sem isso não dá para calcular correntes nem perdas em valores absolutos.
  • Resistências e reatâncias equivalentes do transformador (por exemplo R_1,R_2,X_1,X_2 ou R_{eq},X_{eq} referidos a um dos lados) — necessárias para calcular queda de tensão (regulação) e perdas ôhmicas (perdas por efeito Joule).
  • Perdas no ferro (perdas de núcleo), tipicamente P_{fe} ou perdas a vazio — necessárias para a eficiência.
  • Perdas adicionais se houver (perdas excêntricas, perdas no enrolamento por efeito de correntes parasitas) ou se o enunciado as ignora.
  • Se o problema 4.12 dá curvas ou percentuais (por exemplo impedância percentual Z_\% e perdas em carga referidas a percentual), precisamos desses números.
    Sem esses dados não é possível obter valores numéricos para eficiência e regulação.

Passo 2

O que é regulação de tensão (definição que vou usar) e fórmula aproximada:
  • Regulação de tensão é a variação percentual da tensão do secundário (saída) entre vazio e plena carga, normalmente definida por
\text{Regulação (\%)}=\frac{V_{\text{no-load}}-V_{\text{full-load}}}{V_{\text{full-load}}}\times100\%.çã
  • Para transformadores (aproximação por queda de tensão linear) usamos a fórmula de queda de tensão em fasor:
\Delta V=I\,(R_{\text{eq}}\cos\varphi + X_{\text{eq}}\sin\varphi),
onde:
  • I é a corrente da carga referida ao lado onde R_{\text{eq}} e X_{\text{eq}} estão referidos,
  • \varphi é o ângulo de fase da carga (para \text{pf}=0,866 leading, \cos\varphi=0,866 e \varphi é negativo — no cálculo de regulação normalmente usa-se \cos\varphi e \sin\varphi com o sinal apropriado).
  • Em percentagem, se a tensão nominal de saída é V_{\text{nom}},
\text{Regulação (\%)}\approx\frac{\Delta V}{V_{\text{nom}}}\times100\%.çã
Observações importantes sobre autotransformador:
  • A topologia autotransformadora altera as correntes e, portanto, as perdas de cobre em comparação com um transformador isolado. Para calcular corretamente \Delta V e perdas ôhmicas é preciso conhecer como os enrolamentos estão ligados (quem é o enrolamento comum, quem é a derivação) e as resistências/reatâncias de cada seção. Muitas vezes convém referir todas as impedâncias a um mesmo lado (por exemplo ao lado de 120\\ \text{V}) usando fator de transformação a, onde a=V_{\text{prim}}/V_{\text{sec}}=600/120=5.

Passo 3

O que é eficiência e como calculá-la (passo a passo conceitual):
  • Eficiência \eta é a razão entre potência ativa de saída e potência ativa de entrada:
\eta=\frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}}=\frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{out}}+P_{\text{loss}}},
onde P_{\text{loss}} são todas as perdas (cobre + ferro + outras).
  • Componentes típicos de perdas:
    • Perdas no ferro (núcleo): P_{fe} (praticamente independentes da carga, são as perdas a vazio).
    • Perdas de cobre (Joule) nas bobinas: P_{cu}=I_{\text{w}}^2 R, onde I_{\text{w}} é a corrente no respectivo enrolamento e R sua resistência. No autotransformador as correntes em cada seção podem ser diferentes da corrente de carga, então é preciso os resistores de cada seção ou a fórmula equivalente fornecida no enunciado.
    • Outras perdas (se dadas): P_{\text{otros}}.
  • Procedimento para calcular \eta:
    1. Determinar P_{\text{out}} = V_{\text{sec}}\times I_{\text{load}}\times\cos\varphi (ou diretamente a potência em kW se a carga for dada).
    2. Calcular as perdas de cobre usando as resistências e as correntes reais em cada seção (no autotransformador deve-se calcular corrente de cada enrolamento e aplicar I^2R em cada resistência).
    3. Somar perdas: P_{\text{loss}}=P_{fe}+P_{cu}+P_{\text{otros}}.
    4. Calcular \eta pela fórmula acima.

Passo 4

Passo-a-passo prático (fórmula e sequência) que você pode aplicar assim que tiver os dados de 4.12
  1. Calcule o fator de transformação e fração de enrolamento:
a=\frac{V_{\text{prim}}}{V_{\text{sec}}}=\frac{600}{120}=5,\qquad k=\frac{V_{\text{sec}}}{V_{\text{prim}}}=\frac{120}{600}=0{,}2.
  1. Determine a corrente de carga (módulo) a partir da potência aparente da carga S:
I_{\text{load}}=\frac{S}{V_{\text{sec}}}.
  1. Referir impedâncias/resistências a um mesmo lado (se necessário). Por exemplo, se R_1 for resistência do enrolamento de 600 V e quiser referi-la ao lado de 120 V:
R_{1\to\text{sec}}=\frac{R_1}{a^2},\qquad X_{1\to\text{sec}}=\frac{X_1}{a^2}.
  1. Calcule a queda de tensão fasorial usando R_{\text{eq}} e X_{\text{eq}} referidos ao lado escolhido:
\Delta V = I_{\text{load}}\,(R_{\text{eq}}\cos\varphi + X_{\text{eq}}\sin\varphi).
Para \text{pf}=0{,}866 em adiantamento, \cos\varphi=0{,}866 e \sin\varphi=\sqrt{1-\cos^2\varphi}=0{,}5; por ser leading, o sinal de \sin\varphi entra com sinal oposto em interpretações de fasor, mas na fórmula prática usa-se a combinação indicada (preste atenção ao sinal quando fizer o somatório fasorial se estiver a fazer o cálculo vetorial).
5. Regulação (%):
\text{Regulação (\%)}=\frac{\Delta V}{V_{\text{sec}}}\times100\%.çã
  1. Para as perdas de cobre no autotransformador: calcule as correntes em cada seção (enrolamento comum e derivação) conforme o esquema de ligação (esses valores derivam do circuito equivalente; normalmente o problema fornece as resistências dos enrolamentos ou já dá P_{cu} a plena carga).
  2. Some perdas: P_{\text{loss}}=P_{fe}+P_{cu}+P_{\text{otros}}.
  3. Potência de saída P_{\text{out}}=S\cos\varphi. Finalmente:
\eta=\frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{out}}+P_{\text{loss}}}.

Passo 5

Exemplo simbólico (para ver como fica com letras; substitua pelos números do problema 4.12):
  • Suponha carga S (VA), tensão de saída V_{\text{sec}}=120\\ \text{V}, \cos\varphi=0{,}866, \sin\varphi=0{,}5.
  • Corrente:
I_{\text{load}}=\frac{S}{V_{\text{sec}}}.
  • Queda de tensão (com R_{\text{eq}},X_{\text{eq}} referidos ao secundário):
\Delta V=I_{\text{load}}\bigl(R_{\text{eq}}\cdot 0{,}866 + X_{\text{eq}}\cdot 0{,}5\bigr).
  • Regulação:
\text{Regulação (\%)}=\frac{\Delta V}{120}\times100\%.çã
  • Perdas de cobre (exemplo resumido se tivermos uma única R_{\text{eq}} referida ao secundário):
P_{cu}=I_{\text{load}}^2\,R_{\text{eq}}.
  • Perdas totais P_{\text{loss}}=P_{fe}+P_{cu}.
  • Eficiência:
\eta=\frac{S\cdot 0{,}866}{S\cdot 0{,}866 + P_{\text{loss}}}.
Repito: no autotransformador as correntes e R podem fracionar-se entre enrolamentos; o cálculo exato de P_{cu} requer as resistências de cada seção.

Passo 6

Resumo do que você precisa fazer agora (ação prática):
  • Se você tiver o enunciado do problema 4.12, copie aqui os valores de:
    • S (kVA) ou potência da carga;
    • R_1,R_2,X_1,X_2 ou R_{eq},X_{eq} e a que lado se referem;
    • perdas no ferro P_{fe} (ou perdas a vazio) e quaisquer outras perdas dadas;
    • se o problema fornece percentuais ( Z_\%, P_{cu} a plena carga, etc.), envie esses números.
  • Com esses números eu sigo os passos que coloquei e calculo numericamente regulação e eficiência, explicando cada conta.

Passo 7

Palavras de incentivo: eu sei que parece chato ter de voltar ao problema 4.12, mas com os números certos eu resolvo passo a passo (sem pular etapas) e mostro como reproduzir na prova. Dá para tirar isso rapidinho assim que você me passar os dados de 4.12 (ou copiar o enunciado completo).

Resposta

Não é possível determinar numericamente a eficiência e a regulação porque faltam os dados do problema 4.12: potência da carga S (ou corrente de carga), resistências e reatâncias equivalentes ( R e X) ou perdas de cobre a plena carga, e perdas no ferro P_{fe}.

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