O estado de tensão num ponto de um sólido feito de aço é dado por \sigma x=295 \mathrm{MPa}, \sigma y=600 \mathrm{MPa} e \sigma z=-20 \mathrm{MPa} \tau x y=202 \mathrm{MPa}, \tau x z=\tau y z=0
Qual é o fator e a margem de segurança contra o escoamento num ponto na parede interna do tubo se ele for feito de aço com σo =1791 \mathrm{MPa}, segundo o critério da máxima tensão de cisalhamento?
Passo 1
O enunciado dá o estado de tensão no ponto (peguei estes valores do enunciado):
\sigma_x=295\\ \text{MPa}
\sigma_y=600\\ \text{MPa}
\sigma_z=-20\\ \text{MPa}
\tau_{xy}=202\\ \text{MPa}
\tau_{xz}=\tau_{yz}=0
O que é pedido:
Calcular o fator de segurança contra escoamento segundo o critério da máxima tensão de cisalhamento (Tresca).
Calcular a margem de segurança correspondente.
O enunciado também dá a resistência à tração/limite de escoamento do aço: \sigma_o=1791\\ \text{MPa}.
Passo 2
Vamos escrever a matriz de tensões no sistema x,y,z (sendo cuidadoso com os sinais e com \tau_{ij}=\tau_{ji}):
Note que a matriz é bloco-diagonal: há um bloco 2\times2 no plano xy e \sigma_z isolado. Isso simplifica o cálculo das tensões principais.]
Passo 3
Como o bloco xy é uma matriz 2\times2, as suas tensões principais \sigma_{1} e \sigma_{2} são dadas por (fórmula padrão para autovalores de matriz 2\times2):
Explicação breve do porquê: para quaisquer três tensões principais \sigma_1\ge\sigma_2\ge\sigma_3, as três tensões de cisalhamento máximas são (\sigma_1-\sigma_2)/2,\;(\sigma_2-\sigma_3)/2,\;(\sigma_1-\sigma_3)/2 e a maior entre elas é (\sigma_1-\sigma_3)/2. Esse é o valor usado no critério de Tresca.
Passo 6
O critério de Tresca diz que o escoamento começa quando a máxima tensão de cisalhamento atinge a metade da tensão de escoamento em tração uniaxial. Ou seja, a tensão de cisalhamento crítica é:
Interpretação: N\approx2{,}486 significa que a tensão de cisalhamento crítica é cerca de 2{,}486 vezes maior que a máxima tensão de cisalhamento atual no ponto — estamos bem abaixo do escoamento segundo Tresca.
Passo 8
Margem de segurança (definição usada aqui: diferença relativa entre capacidade e serviço, dada por MS=N-1):
MS=N-1\approx2{,}4858-1=1{,}4858\approx1{,}486.
Em porcentagem, isso corresponde a
MS_{\%}=MS\times100\%\approx148{,}6\%.
Resposta
Fator de segurança N\approx2{,}486
Margem de segurança MS\approx1{,}486 (ou aproximadamente 148{,}6\%)