1. O estado de tensão num ponto de um sólido feito de aço é dado por
    \sigma x=295 \mathrm{MPa}, \sigma y=600 \mathrm{MPa} e \sigma z=-20 \mathrm{MPa}
    \tau x y=202 \mathrm{MPa}, \tau x z=\tau y z=0
    Qual é o fator e a margem de segurança contra o escoamento num ponto na parede interna do tubo se ele for feito de aço com σo =1791 \mathrm{MPa}, segundo o critério da máxima tensão de cisalhamento?

Passo 1

O enunciado dá o estado de tensão no ponto (peguei estes valores do enunciado):
  • \sigma_x=295\\ \text{MPa}
  • \sigma_y=600\\ \text{MPa}
  • \sigma_z=-20\\ \text{MPa}
  • \tau_{xy}=202\\ \text{MPa}
  • \tau_{xz}=\tau_{yz}=0
O que é pedido:
  • Calcular o fator de segurança contra escoamento segundo o critério da máxima tensão de cisalhamento (Tresca).
  • Calcular a margem de segurança correspondente.
O enunciado também dá a resistência à tração/limite de escoamento do aço: \sigma_o=1791\\ \text{MPa}.

Passo 2

Vamos escrever a matriz de tensões no sistema x,y,z (sendo cuidadoso com os sinais e com \tau_{ij}=\tau_{ji}):
\boldsymbol{\sigma}= \begin{pmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & 0\\[4pt] \tau_{xy} & \sigma_y & 0\\[4pt] 0 & 0 & \sigma_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 295 & 202 & 0\\[4pt] 202 & 600 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -20 \end{pmatrix}\\ \text{(MPa)}
Note que a matriz é bloco-diagonal: há um bloco 2\times2 no plano xy e \sigma_z isolado. Isso simplifica o cálculo das tensões principais.]

Passo 3

Como o bloco xy é uma matriz 2\times2, as suas tensões principais \sigma_{1} e \sigma_{2} são dadas por (fórmula padrão para autovalores de matriz 2\times2):
\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}.
Vamos calcular passo a passo os termos numéricos:
Média:
\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}=\frac{295+600}{2}=\frac{895}{2}=447{,}5\\ \text{MPa}.
Meia-diferença ao quadrado:
\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2=\left(\frac{295-600}{2}\right)^2=\left(-152{,}5\right)^2=23256{,}25\\ \text{(MPa)}^2.
Quadrado do cisalhamento:
\tau_{xy}^2=202^2=40804\\ \text{(MPa)}^2.
Somando dentro da raiz:
\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2=23256{,}25+40804=64060{,}25\\ \text{(MPa)}^2.
Raiz:
\sqrt{64060{,}25}\approx253{,}101\\ \text{MPa}.

Passo 4

Agora obtenho as tensões principais do bloco xy:
\sigma_1=447{,}5+253{,}101\approx700{,}601\\ \text{MPa},
\sigma_2=447{,}5-253{,}101\approx194{,}399\\ \text{MPa}.
A terceira tensão principal vem do \sigma_z isolado:
\sigma_3=\sigma_z=-20\\ \text{MPa}.
Ordenando (máxima, média, mínima):
\sigma_{\max}=\sigma_1\approx700{,}601\\ \text{MPa},\qquad \sigma_{\text{med}}=\sigma_2\approx194{,}399\\ \text{MPa},\qquad \sigma_{\min}=\sigma_3=-20\\ \text{MPa}.

Passo 5

Pelo critério de Tresca (máxima tensão de cisalhamento), a máxima tensão de cisalhamento no ponto é:
\tau_{\max}=\frac{\sigma_{\max}-\sigma_{\min}}{2}.
Substituindo:
\tau_{\max}=\frac{700{,}601-(-20)}{2}=\frac{720{,}601}{2}=360{,}3005\\ \text{MPa}\approx360{,}30\\ \text{MPa}.
Explicação breve do porquê: para quaisquer três tensões principais \sigma_1\ge\sigma_2\ge\sigma_3, as três tensões de cisalhamento máximas são (\sigma_1-\sigma_2)/2,\;(\sigma_2-\sigma_3)/2,\;(\sigma_1-\sigma_3)/2 e a maior entre elas é (\sigma_1-\sigma_3)/2. Esse é o valor usado no critério de Tresca.

Passo 6

O critério de Tresca diz que o escoamento começa quando a máxima tensão de cisalhamento atinge a metade da tensão de escoamento em tração uniaxial. Ou seja, a tensão de cisalhamento crítica é:
\tau_{\text{crit}}=\frac{\sigma_o}{2}.
Com \sigma_o=1791\\ \text{MPa},
\tau_{\text{crit}}=\frac{1791}{2}=895{,}5\\ \text{MPa}.

Passo 7

Fator de segurança N (razão entre a tensão de cisalhamento crítica e a máxima tensão de cisalhamento existente):
N=\frac{\tau_{\text{crit}}}{\tau_{\max}}=\frac{\sigma_o/2}{\tau_{\max}}=\frac{895{,}5}{360{,}3005}\approx2{,}4858\approx2{,}486.
Interpretação: N\approx2{,}486 significa que a tensão de cisalhamento crítica é cerca de 2{,}486 vezes maior que a máxima tensão de cisalhamento atual no ponto — estamos bem abaixo do escoamento segundo Tresca.

Passo 8

Margem de segurança (definição usada aqui: diferença relativa entre capacidade e serviço, dada por MS=N-1):
MS=N-1\approx2{,}4858-1=1{,}4858\approx1{,}486.
Em porcentagem, isso corresponde a
MS_{\%}=MS\times100\%\approx148{,}6\%.

Resposta

Fator de segurança N\approx2{,}486
Margem de segurança MS\approx1{,}486 (ou aproximadamente 148{,}6\%)

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