El transformador del problema 4.15 opera a plena carga y factor de potencia de 0.95 en adelanto. Determine su regulación del voltaje y eficiencia empleando cantidades por unidad.

Passo 1

El enunciado que diste dice: “El transformador del problema 4.15 opera a plena carga y factor de potencia de 0,95 en adelanto. Determine su regulación del voltaje y eficiencia empleando cantidades por unidad.”
Preguntas que pide resolver:
  • Determinar la regulación del voltaje del transformador a plena carga y factor de potencia \,0,95 en adelanto.
  • Determinar la eficiencia del transformador en esas condiciones.
Información dada en el enunciado:
  • Plena carga (es decir, I_{pu}=1 si se trabaja en por unidad).
  • Factor de potencia \mathrm{pf}=0,95 en adelanto (leading).
Información que NO fue dada (necesaria para obtener resultados numéricos):
  • La impedancia serie del transformador expresada en pu: \,Z_{pu}=R_{pu}+jX_{pu}\, (o por separado R_{pu} y X_{pu}).
  • Las pérdidas en vacío (pérdida en hierro) en pu, denotada \,P_{Fe,pu}\, (o P_{Fe} en W junto con la base S_{base}).
  • Las pérdidas en cobre a plena carga en pu, denotada \,P_{Cu,FL,pu}\, (o I^2R en W junto con la base).
  • Si el transformador es monofásico o trifásico para usar fórmulas de corrientes/pu adecuadas (aunque la metodología pu es la misma, las expresiones de I_{base} difieren).
Conclusión del paso: con los datos que diste no es posible calcular numéricamente la regulación ni la eficiencia porque faltan los valores numéricos de R_{pu}, X_{pu}, P_{Fe,pu} y P_{Cu,FL,pu}. A continuación te enseño, paso a paso y de forma didáctica, cómo se calculan esas dos cantidades en por unidad y doy un ejemplo numérico ilustrativo para que veas el procedimiento completo.

Passo 2

Breve clase: qué es trabajar en por unidad (pu) y bases más usadas. Esto es crucial porque todo se calcula en pu.
  • Base de potencia: \,S_{base}\, (por ejemplo la potencia nominal del transformador).
  • Base de tensión en un lado (por ejemplo el secundario): \,V_{base}\,.
  • Base de corriente: I_{base}=\frac{S_{base}}{\sqrt{3}\,V_{base}}\quad\text{(para sistema trifásico)}á
o I_{base}=\frac{S_{base}}{V_{base}}\quad\text{(monofásico)}.á
  • Base de impedancia: Z_{base}=\frac{V_{base}^2}{S_{base}}.
Definición de cantidades en pu: si una resistencia real vale R en ohmios, su valor en pu es R_{pu}=R/Z_{base}. Lo mismo para reactancia y potencias: P_{pu}=P/S_{base}.
Ventaja: una vez las pérdidas y la impedancia están en pu sobre la misma base S_{base} y V_{base}, las operaciones son numéricas simples.

Passo 3

Cómo calcular la regulación de tensión usando el circuito equivalente en pu (explicación paso a paso y fórmula).
  • Modelo simplificado: el comportamiento de regulación viene principalmente de la impedancia serie equivalente del transformador representada en pu por \,Z_{pu}=R_{pu}+jX_{pu}\,. Suponemos que la tensión en el lado de carga (receiving end) a condiciones nominales de referencia es \,V_2=1 pu (normalmente se toma la tensión del secundario en vacío como 1 pu). A plena carga la corriente en pu es \,I_{pu}=1.
  • Definir el ángulo de carga \varphi tal que \cos\varphi= factor de potencia. Importante: por convención \varphi>0 si la corriente está rezagada (inductiva, lagging). Si la corriente está adelantada (leading), entonces \varphi es negativo. En este problema la pf es 0,95 en adelanto, por lo que \cos\varphi=0,95 y \varphi tendrá signo negativo (es decir \varphi\approx -\operatorname{arccos}(0,95)).
  • La caída de tensión en pu (componente compleja) en la impedancia es \Delta V = I_{pu}\,(R_{pu}+jX_{pu}), con I_{pu}=1\angle{-\varphi} si tomamos la tensión de referencia en ángulo cero. Entonces la tensión en el lado del generador (o primaria) será V_1 = V_2 + \Delta V. La regulación (porcentaje) se define habitualmente como:
\text{Reg}\% = 100\%\cdot\frac{|V_{no-load}| - |V_{full-load}|}{|V_{full-load}|},
pero en la práctica, tomando V_{no-load}=|V_1| y V_{full-load}=|V_2|=1 (si se tomó la tensión secundaria de referencia en 1 pu), la expresión que se usa en pu es:
  • Fórmula aproximada (muy usada y suficiente en examen): \boxed{\text{Reg}\% \approx 100\% \cdot \bigl(R_{pu}\cos\varphi + X_{pu}\sin\varphi\bigr)}
donde \varphi es positivo para carga inductiva (lagging); para carga adelantada (leading) la \sin\varphi será negativa y la fórmula sigue válida si se usa el signo correcto de \varphi. Esta fórmula sale al tomar la parte real de \Delta V (su proyección en la dirección de la tensión) y asumiendo que la magnitud de la tensión no cambia mucho (aproximación válida si las caídas son pequeñas).
  • Fórmula exacta (si quieres mayor precisión): con V_2=1 y I=1\angle{-\varphi},
V_1 = 1 + (R_{pu}+jX_{pu})\cdot e^{-j\varphi}.
La magnitud |V_1| se obtiene calculando la raíz cuadrada de la suma de cuadrados de sus componentes real e imaginaria; luego
\text{Reg}\% = 100\%\cdot\bigl(|V_1|-1\bigr).
Este cálculo es directo pero algo más pesado en examen; la fórmula aproximada se suele aceptar.

Passo 4

Cómo calcular la eficiencia usando pu (explicación y fórmula paso a paso).
  • En pu sobre la base S_{base}, la potencia aparente en plena carga es S_{pu}=1. La potencia activa de salida (puesta en el lado útil) en pu es:
P_{out,pu}=S_{pu}\cdot\cos\varphi = 1\cdot\cos\varphi.
Con \cos\varphi=0,95 entonces P_{out,pu}=0,95 (en pu de la base de potencia).
  • Las pérdidas totales en pu son la suma de pérdidas en hierro (constantes, P_{Fe,pu}) más pérdidas en cobre (dependen de I^2): P_{loss,pu} = P_{Fe,pu} + P_{Cu,FL,pu}\cdot I_{pu}^2.
A plena carga I_{pu}=1, así que P_{loss,pu} = P_{Fe,pu} + P_{Cu,FL,pu}.
  • La eficiencia en pu es entonces:
\eta = \frac{P_{out,pu}}{P_{out,pu} + P_{loss,pu}} = \frac{\cos\varphi}{\cos\varphi + P_{Fe,pu} + P_{Cu,FL,pu}}.
(Nota: todo en pu con base S_{base}. Si las pérdidas se dan en W, conviertele a pu dividiendo por S_{base}.)
Con esto, conociendo P_{Fe,pu} y P_{Cu,FL,pu} se obtiene la eficiencia numérica directamente.

Passo 5

Resumen práctico de los pasos que hay que hacer en el examen (lista de verificación rápida):
  1. Poner todas las magnitudes en la misma base: S_{base} y V_{base} (y así obtener Z_{base}). Convertir R, X, P_{Fe}, P_{Cu} a pu si están en unidades absolutas.
  2. Obtener \varphi=\operatorname{arccos}(\mathrm{pf}). Recuerda el signo: pf en adelanto \Rightarrow\varphi negativo; pf en atraso \Rightarrow\varphi positivo.
  3. Para regulación: calcular R_{pu}\cos\varphi + X_{pu}\sin\varphi y multiplicar por 100\%. (O calcular V_1 exacto y |V_1|-1.)
  4. Para eficiencia: calcular P_{out,pu}=\cos\varphi, P_{loss,pu}=P_{Fe,pu}+P_{Cu,FL,pu}, y \eta=\dfrac{P_{out,pu}}{P_{out,pu}+P_{loss,pu}}.

Passo 6

Ejemplo numérico ilustrativo (esto NO resuelve tu problema original, es solo para que veas cómo aplicar las fórmulas). Supongamos, por ilustración, que los datos en pu son:
  • Z_{pu}=R_{pu}+jX_{pu}=0,01+j0,06.
  • P_{Fe,pu}=0,002.
  • P_{Cu,FL,pu}=0,005.
  • \mathrm{pf}=0,95 en adelanto.
Cálculo del ángulo: \cos\varphi=0,95 por tanto \varphi=\operatorname{arccos}(0,95)\approx 18,19^\circ. Por ser adelantado usamos \varphi\approx -18,19^\circ. En números: \sin\varphi\approx -0,312.
Regulación (fórmula aproximada):
\text{Reg}\% \approx 100\%\cdot\bigl(R_{pu}\cos\varphi + X_{pu}\sin\varphi\bigr).
Sustituyendo:
\text{Reg}\% \approx 100\%\cdot\bigl(0,01\cdot0,95 + 0,06\cdot(-0,312)\bigr) =100\%\cdot(0,0095 - 0,01872) = 100\%\cdot(-0,00922)\approx -0,922\%.
Interpretación: regulación negativa de aproximadamente -0,92\%. Eso significa que, con carga en adelanto, la tensión a plena carga puede ser ligeramente mayor que la tensión en no carga (efecto típico cuando la caída reactiva tiene signo que produce sobreelevación).
Eficiencia:
P_{out,pu}=\cos\varphi=0,95.
Pérdidas totales en pu:
P_{loss,pu}=P_{Fe,pu}+P_{Cu,FL,pu}=0,002+0,005=0,007.
Eficiencia:
\eta=\frac{0,95}{0,95+0,007}=\frac{0,95}{0,957}\approx 0,9927\approx 99,27\%.
Este ejemplo muestra claramente el uso de las fórmulas y cómo interpretar resultados.

Passo 7

Conclusión y siguiente paso práctico para tu caso real:
  • No es posible dar los valores numéricos pedidos para el transformador del problema 4.15 porque no se proporcionaron R_{pu}, X_{pu}, P_{Fe,pu} ni P_{Cu,FL,pu} (ni las bases si las pérdidas están en W).
  • Si quieres, me pasas los datos numéricos del problema 4.15 (los valores de impedancia en pu o en ohm + base, y las pérdidas en W o en pu), o simplemente los valores ya en pu de R_{pu}, X_{pu}, P_{Fe,pu} y P_{Cu,FL,pu}, y yo aplico inmediatamente las fórmulas anteriores y te doy la regulación y la eficiencia con todos los pasos y explicaciones.

Resposta

No es posible determinar numéricamente la regulación y la eficiencia porque faltan los datos necesarios: \,R_{pu}, \,X_{pu}, \,P_{Fe,pu} y \,P_{Cu,FL,pu}. Si se proporcionan esos valores (o las pérdidas en W junto con S_{base}), se calculan directamente usando las fórmulas mostradas.

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