9-39C What restrictions or conditions are imposed on stream function \psi so that it exactly satisfies the two-dimensional incompressible continuity equation by definition? Why are these restrictions necessary?

Passo 1

O enunciado pergunta: quais restrições ou condições devem ser impostas à função de corrente \psi para que ela satisfaça exatamente a equação de continuidade bidimensional incompressível por definição, e por que essas restrições são necessárias.
Informações relevantes dadas:
  • Trata-se de fluxo bidimensional incompressível cuja equação de continuidade é \dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial v}{\partial y}=0.
  • Introduz-se uma função escalar \psi(x,y) chamada função de corrente (stream function) e pede-se as condições que essa \psi deve obedecer para que, ao definir u e v a partir dela, a continuidade seja automaticamente satisfeita.

Passo 2

Definição usual (convenção de sinal): definir as componentes da velocidade em termos de \psi por
u=\dfrac{\partial \psi}{\partial y},\qquad v=-\dfrac{\partial \psi}{\partial x}.
Vou explicar por que essa escolha força a continuidade a ser satisfeita: calcule a divergência
\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial v}{\partial y} =\dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial y}\right) +\dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(-\dfrac{\partial \psi}{\partial x}\right).
Reagrupando,
\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial v}{\partial y} =\dfrac{\partial^2\psi}{\partial x\partial y}-\dfrac{\partial^2\psi}{\partial y\partial x}.
Se as derivadas parciais de segunda ordem de \psi são contínuas (isto é, \psi é pelo menos classe C^2), então vale a igualdade das derivadas mistas (teorema de Clairaut), logo
\dfrac{\partial^2\psi}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial^2\psi}{\partial y\partial x},
e assim
\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial v}{\partial y}=0.
Portanto, a definição acima garante a continuidade desde que se possa trocar as derivadas mistas.

Passo 3

Da derivação anterior já surge uma condição técnica importante: regularidade suficiente de \psi.
  • Condição de regularidade: \psi deve ser pelo menos duas vezes continuamente diferenciável, ou seja \psi\in C^2. Isso assegura que as derivadas mistas existem e são iguais, permitindo cancelar termos e obter divergência nula.
Expliquei porque é necessária: sem essa regularidade não há garantia matemática de que \dfrac{\partial^2\psi}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial^2\psi}{\partial y\partial x}, e então a cancelamento que leva à continuidade pode falhar.

Passo 4

Condição topológica / de domínio: existência global de uma única \psi (single‑valued).
  • Localmente, se o campo de velocidades tem divergência zero, sempre existe uma função \psi tal que u=\psi_y,\\ v=-\psi_x. Porém, para que exista uma \psi definida de forma única e contínua em toda a região de interesse sem descontinuidades ou múltiplos valores, a região do fluido deve ser simplesmente conexa (sem “buracos”).
  • Se o domínio não for simplesmente conexo (por exemplo, fluxo ao redor de um corpo com um buraco interno), pode ocorrer que a função de corrente seja multivalorada (ou que seja preciso introduzir cortes de ramo) — isso não invalida localmente a fórmula, mas impede a existência de uma \psi global simples sem escolhas extras (por exemplo, fixar circulação em torno dos buracos).
Por que isso importa: uma \psi multivalorada não é prática para uso direto como função única que descreve todas as linhas de corrente; além disso, presença de fontes/pontos singulares altera o comportamento (função de corrente típica para fonte é logarítmica e envolve singularidade).

Passo 5

Condições físicas e de contorno e unicidade até constante:
  • A função de corrente é determinada apenas até uma constante aditiva: se \psi gera u,v, então \psi+C gera as mesmas velocidades. Para fixar essa constante é preciso uma condição de contorno (por exemplo, escolher \psi=0 numa parede ou numa linha de referência).
  • Em paredes impermeáveis (condição de não-penetração) a \psi é constante ao longo da parede. Explicação rápida: a normal à parede não tem componente de velocidade, e isso se traduz em \psi constante ao longo de uma curva que coincide com a parede.
  • Interpretação física útil: a diferença \psi(x,y_2)-\psi(x,y_1) dá o fluxo volumétrico por unidade de profundidade entre as duas linhas y_1 e y_2 (por exemplo, \displaystyle \int_{y_1}^{y_2} u(x,y)\,dy=\psi(x,y_2)-\psi(x,y_1)). Mostra por que \psi é chamada de função de corrente.

Passo 6

Resumo das condições necessárias (versão didática e prática):
  1. Velocidades definidas a partir de \psi por u=\dfrac{\partial\psi}{\partial y},\qquad v=-\dfrac{\partial\psi}{\partial x}.
  2. Regularidade: \psi\in C^2 na região considerada, para garantir a igualdade das derivadas mistas e, assim, \dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial v}{\partial y}=0.
  3. Domínio apropriado: idealmente a região do fluido é simplesmente conexa para garantir existência de \psi global e single‑valued; em domínios com “buracos” é preciso tratar circulação/singuralidades (ou aceitar que \psi seja multivalorada e escolher ramos).
  4. Condições de contorno: \psi pode ser fixada numa constante numa parede impermeável; em geral, \psi é única apenas até uma constante aditiva.

Passo 7

Por que essas condições são necessárias, em palavras simples e motivadoras:
  • A definição de u,v em termos de derivadas de uma única função força algebraicamente a divergência a ser zero, desde que as trocas de derivadas sejam válidas — por isso a necessidade de \psi\in C^2.
  • A condição topológica (simply connected) garante que a construção funcione globalmente sem contradições (sem “voltar diferente” ao percorrer um circuito).
  • A ambiguidade por constante e as condições de contorno são consequências físicas naturais: \psi mede fluxo relativo entre linhas de corrente, não um valor absoluto, então precisa de uma referência.

Resposta

  • Definir as velocidades por \displaystyle u=\dfrac{\partial\psi}{\partial y},\; v=-\dfrac{\partial\psi}{\partial x}.
  • \psi deve ser pelo menos C^2 (duas derivadas contínuas) para que as derivadas mistas se igualem e a divergência seja exatamente zero.
  • O domínio deve ser (preferencialmente) simplesmente conexo para garantir existência global de uma \psi single‑valued; caso contrário surgem multivalores/singularidades que exigem tratamento.
  • \psi é única apenas até uma constante aditiva e essa constante é fixada por condições de contorno (por exemplo \psi= constante em paredes impermeáveis).

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