9-39C What restrictions or conditions are imposed on stream function
so that it exactly satisfies the two-dimensional incompressible continuity equation by definition? Why are these restrictions necessary?
Passo 1
O enunciado pergunta: quais restrições ou condições devem ser impostas à função de corrente
para que ela satisfaça exatamente a equação de continuidade bidimensional incompressível por definição, e por que essas restrições são necessárias.
Informações relevantes dadas:
- Trata-se de fluxo bidimensional incompressível cuja equação de continuidade é
. - Introduz-se uma função escalar
chamada função de corrente (stream function) e pede-se as condições que essa deve obedecer para que, ao definir e a partir dela, a continuidade seja automaticamente satisfeita.
Passo 2
Definição usual (convenção de sinal): definir as componentes da velocidade em termos de
por
Vou explicar por que essa escolha força a continuidade a ser satisfeita: calcule a divergência
Reagrupando,
Se as derivadas parciais de segunda ordem de
são contínuas (isto é,
é pelo menos classe
), então vale a igualdade das derivadas mistas (teorema de Clairaut), logo
e assim
Portanto, a definição acima garante a continuidade desde que se possa trocar as derivadas mistas.
Passo 3
Da derivação anterior já surge uma condição técnica importante: regularidade suficiente de
.
- Condição de regularidade:
deve ser pelo menos duas vezes continuamente diferenciável, ou seja . Isso assegura que as derivadas mistas existem e são iguais, permitindo cancelar termos e obter divergência nula.
Expliquei porque é necessária: sem essa regularidade não há garantia matemática de que
, e então a cancelamento que leva à continuidade pode falhar.
Passo 4
Condição topológica / de domínio: existência global de uma única
(single‑valued).
- Localmente, se o campo de velocidades tem divergência zero, sempre existe uma função
tal que . Porém, para que exista uma definida de forma única e contínua em toda a região de interesse sem descontinuidades ou múltiplos valores, a região do fluido deve ser simplesmente conexa (sem “buracos”). - Se o domínio não for simplesmente conexo (por exemplo, fluxo ao redor de um corpo com um buraco interno), pode ocorrer que a função de corrente seja multivalorada (ou que seja preciso introduzir cortes de ramo) — isso não invalida localmente a fórmula, mas impede a existência de uma
global simples sem escolhas extras (por exemplo, fixar circulação em torno dos buracos).
Por que isso importa: uma
multivalorada não é prática para uso direto como função única que descreve todas as linhas de corrente; além disso, presença de fontes/pontos singulares altera o comportamento (função de corrente típica para fonte é logarítmica e envolve singularidade).
Passo 5
Condições físicas e de contorno e unicidade até constante:
- A função de corrente é determinada apenas até uma constante aditiva: se
gera , então gera as mesmas velocidades. Para fixar essa constante é preciso uma condição de contorno (por exemplo, escolher numa parede ou numa linha de referência). - Em paredes impermeáveis (condição de não-penetração) a
é constante ao longo da parede. Explicação rápida: a normal à parede não tem componente de velocidade, e isso se traduz em constante ao longo de uma curva que coincide com a parede. - Interpretação física útil: a diferença
dá o fluxo volumétrico por unidade de profundidade entre as duas linhas e (por exemplo, ). Mostra por que é chamada de função de corrente.
Passo 6
Resumo das condições necessárias (versão didática e prática):
- Velocidades definidas a partir de
por - Regularidade:
na região considerada, para garantir a igualdade das derivadas mistas e, assim, . - Domínio apropriado: idealmente a região do fluido é simplesmente conexa para garantir existência de
global e single‑valued; em domínios com “buracos” é preciso tratar circulação/singuralidades (ou aceitar que seja multivalorada e escolher ramos). - Condições de contorno:
pode ser fixada numa constante numa parede impermeável; em geral, é única apenas até uma constante aditiva.
Passo 7
Por que essas condições são necessárias, em palavras simples e motivadoras:
- A definição de
em termos de derivadas de uma única função força algebraicamente a divergência a ser zero, desde que as trocas de derivadas sejam válidas — por isso a necessidade de . - A condição topológica (simply connected) garante que a construção funcione globalmente sem contradições (sem “voltar diferente” ao percorrer um circuito).
- A ambiguidade por constante e as condições de contorno são consequências físicas naturais:
mede fluxo relativo entre linhas de corrente, não um valor absoluto, então precisa de uma referência.
Resposta
- Definir as velocidades por
. -
deve ser pelo menos (duas derivadas contínuas) para que as derivadas mistas se igualem e a divergência seja exatamente zero. - O domínio deve ser (preferencialmente) simplesmente conexo para garantir existência global de uma
single‑valued; caso contrário surgem multivalores/singularidades que exigem tratamento. -
é única apenas até uma constante aditiva e essa constante é fixada por condições de contorno (por exemplo constante em paredes impermeáveis).