9-59 Repeat Prob. 9-58, except make up your own stream function. You may create any function \psi(x, y) that you desire, as long as it contains at least three terms and is not the same as an example or problem in this text. Discuss.

Passo 1

O enunciado pede que eu repita o exercício 9-58, mas escolhendo minha própria função de corrente \psi(x,y). Requisitos e o que será entregue:
  • Criar uma função \psi(x,y) com pelo menos três termos (não repetir exemplos do livro).
  • A partir de \psi obter o campo de velocidade planar incompressível (u,v).
  • Verificar a condição de incompressibilidade (continuidade).
  • Calcular a vorticidade (rotacional) do campo.
  • Encontrar pontos de estagnação (pontos onde u=v=0).
  • Classificar esses pontos (sela, centro, nó, etc.) por linearização.
  • Discutir qualitativamente as linhas de corrente ( \psi= constante) e características do escoamento.
Nada do acima será assumido como conhecido por você: vou explicar cada definição e cada cálculo passo a passo.

Passo 2

Escolhendo a função de corrente. Vou propor uma \psi(x,y) simples, com quatro termos distintos (para garantir “pelo menos três termos”) e que gere um escoamento interessante (com vorticidade e pontos de estagnação não triviais). Minha escolha:
\psi(x,y) = 2xy + x^{2} - y^{2} + y^{3}.
Comentários rápidos sobre a escolha: os termos 2xy, x^{2}, -y^{2} e y^{3} interagem para produzir componentes de velocidade lineares e não-lineares ao mesmo tempo; isso permite achar pontos de estagnação e uma vorticidade simples de interpretar.

Passo 3

O que é a função de corrente e como dela extrair u e v. Explicação didática:
  • Em escoamentos bidimensionais incompressíveis (dependentes só de x e y), existe uma função escalar \psi(x,y) chamada função de corrente tal que as linhas \psi= constante são exatamente as linhas de corrente do fluido (trajetórias instantâneas de partículas, se o escoamento for estacionário).
  • A convenção mais usada (e a que vou adotar) é:
u = \frac{\partial \psi}{\partial y},\qquad v = -\frac{\partial \psi}{\partial x},
onde u é a componente de velocidade na direção x e v na direção y.
  • Por que isso? Porque com essa definição se verifica automaticamente a equação da continuidade (incompressibilidade) \partial u/\partial x + \partial v/\partial y = 0. Vou mostrar isso explicitamente mais adiante.
  • Interpretação prática: para obter u, derivamos \psi em relação a y; para obter v, derivamos \psi em relação a x e aplicamos sinal negativo.

Passo 4

Derivadas parciais da \psi escolhida e cálculo de u e v.
Primeiro as derivadas:
\frac{\partial \psi}{\partial x} = 2y + 2x,
\frac{\partial \psi}{\partial y} = 2x - 2y + 3y^{2}.
Agora aplicando a convenção para velocidade:
u(x,y) = \frac{\partial \psi}{\partial y} = 2x - 2y + 3y^{2},
v(x,y) = -\frac{\partial \psi}{\partial x} = -(2y + 2x) = -2x - 2y.
Comentário: anote mentalmente que u tem um termo quadrático em y (não-linear) e v é linear nas coordenadas.

Passo 5

Verificação da incompressibilidade (continuidade). Vou calcular \partial u/\partial x + \partial v/\partial y para mostrar que é zero:
\frac{\partial u}{\partial x} = 2,
\frac{\partial v}{\partial y} = -2,
logo
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 2 + (-2) = 0.
Explicação: isso confirma que o campo (u,v) é divergência nula, i.e., é um escoamento incompressível, como deveria ser por construção ao partir de uma função de corrente.

Passo 6

Cálculo e interpretação da vorticidade (rotacional) em 2D. Definição e cálculo:
  • Em 2D (componentes u,v), a componente do rotor relevante é a componente z da vorticidade:
\omega_{z} = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}.
  • Calculemos as derivadas:
\frac{\partial v}{\partial x} = -2,
\frac{\partial u}{\partial y} = -2 + 6y.
  • Portanto
\omega_{z}(x,y) = -2 - (-2 + 6y) = -6y.
Interpretação: a vorticidade é proporcional a -y. Ou seja, nas linhas y=0 o campo é irrotacional ( \omega_{z}=0), para y>0 temos \omega_{z}<0 e para y<0 temos \omega_{z}>0. A variação linear em y é fácil de visualizar e indica rotação dependente da posição vertical.

Passo 7

Encontrando pontos de estagnação (onde u=0 e v=0). Resolver o sistema:
u(x,y)=2x - 2y + 3y^{2} = 0,
v(x,y)=-2x - 2y = 0.
Do segundo equação temos
-2x - 2y = 0 \quad\Rightarrow\quad x + y = 0 \quad\Rightarrow\quad x = -y.
Substituindo em u=0:
2(-y) - 2y + 3y^{2} = -2y - 2y + 3y^{2} = -4y + 3y^{2} = y(-4 + 3y) = 0.
Assim as soluções são y=0 ou y=\tfrac{4}{3}. Correspondentes:
  • Para y=0: x=-y=0. Ponto (0,0).
  • Para y=\tfrac{4}{3}: x=-\tfrac{4}{3}. Ponto \left(-\tfrac{4}{3},\tfrac{4}{3}\right).
Portanto existem dois pontos de estagnação: (0,0) e \left(-\tfrac{4}{3},\tfrac{4}{3}\right).

Passo 8

Classificação linear dos pontos de estagnação (análise de estabilidade/sentido) por linearização. Método e cálculo:
  • Para classificar um ponto crítico de um campo (u,v) resolvemos a linearização dada pela matriz jacobiana
J(x,y) = \begin{pmatrix} \partial u/\partial x & \partial u/\partial y \\[4pt] \partial v/\partial x & \partial v/\partial y \end{pmatrix}.
  • Calculemos as derivadas gerais:
\frac{\partial u}{\partial x} = 2,\qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -2 + 6y,
\frac{\partial v}{\partial x} = -2,\qquad \frac{\partial v}{\partial y} = -2.
Logo
J(x,y)=\begin{pmatrix} 2 & -2 + 6y \\[4pt] -2 & -2 \end{pmatrix}.
Avaliação no ponto (0,0) (primeiro ponto de estagnação):
J(0,0)=\begin{pmatrix} 2 & -2 \\[4pt] -2 & -2 \end{pmatrix}.
Para classificar, calculamos os autovalores \lambda de J resolvendo \det(J-\lambda I)=0:
\det\begin{pmatrix}2-\lambda & -2 \\\\ -2 & -2-\lambda\end{pmatrix} = (2-\lambda)(-2-\lambda) -4 = \lambda^{2} -8 = 0.
Portanto \lambda^{2}=8 e \lambda = \pm 2\sqrt{2} (dois autovalores reais de sinais opostos). Interpretação: com autovalores reais e de sinais opostos o ponto é uma sela (saddle point). Conclusão: (0,0) é uma sela.
Avaliação no ponto \left(-\tfrac{4}{3},\tfrac{4}{3}\right):
  • Aqui y=\tfrac{4}{3}, então \partial u/\partial y = -2 + 6y = -2 + 6\cdot\tfrac{4}{3} = -2 + 8 = 6.
J\!\left(-\tfrac{4}{3},\tfrac{4}{3}\right) = \begin{pmatrix}2 & 6 \\\\ -2 & -2 \end{pmatrix}.
Determinante do polinômio característico:
\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 6 \\\\ -2 & -2-\lambda \end{pmatrix} = (2-\lambda)(-2-\lambda) +12 = \lambda^{2} + 8 = 0.
Assim \lambda^{2} = -8 e \lambda = \pm 2\mathrm{i}\sqrt{2}: autovalores puramente imaginários conjugados. Interpretação linear: isso indica um centro linear (trajectórias fechadas ao redor do ponto, no caso linearizado). Para o sistema não-linear pode corresponder a um centro (linhas de corrente fechadas) ou a um foco dependendo de termos não-lineares, mas aqui a presença de autovalores puramente imaginários sugere que o ponto \left(-\tfrac{4}{3},\tfrac{4}{3}\right) é um centro linear — i.e., o escoamento apresenta linhas de corrente fechadas em torno desse ponto nas proximidades (ciclos fechados).]

Passo 9

Discussão qualitativa das linhas de corrente e comportamento do escoamento (físico e prático).
  • As linhas de corrente são dadas por \psi(x,y)= constante, ou seja
2xy + x^{2} - y^{2} + y^{3} = C,
para vários valores de C. Cada curva desse tipo é uma linha de fluxo.
  • Próximo da origem, devido à classificação em sela, esperam-se duas direções estáveis e duas instáveis (o traçado típico de uma sela), com fluxo aproximado linear determinado pelos autovetores correspondentes aos autovalores \pm 2\sqrt{2}.
  • Em torno de \left(-\tfrac{4}{3},\tfrac{4}{3}\right) espera-se uma região com linhas de corrente aproximadamente fechadas (um “remoinho” ou célula circular próxima, já que a linearização deu autovalores imaginários puros). No entanto, a vorticidade local aí é \omega_{z}=-6y=-8 (negativa), indicando rotação no sentido determinado por esse sinal.
  • Observação sobre a vorticidade: como \omega_{z}=-6y, ao longo da linha y=0 o escoamento é localmente irrotacional; acima de y=0 a rotação tem um sentido (negativo) e abaixo de y=0 tem o sentido oposto.
  • Para fins de prova: os passos essenciais para qualquer função de corrente são (1) derivar \psi para obter u e v, (2) verificar continuidade por \partial u/\partial x + \partial v/\partial y =0, (3) calcular vorticidade por \partial v/\partial x - \partial u/\partial y, (4) achar pontos de estagnação resolvendo u=v=0, e (5) linearizar via matriz jacobiana e estudar autovalores para classificar cada ponto.

Passo 10

Dicas rápidas para a prova (resumindo o método que deu certo aqui, aplicável a qualquer \psi que você escolher na hora):
  • Sempre escreva primeiro \frac{\partial \psi}{\partial x} e \frac{\partial \psi}{\partial y}.
  • Use u=\partial\psi/\partial y,\\ v=-\partial\psi/\partial x.
  • Verifique continuidade calculando \partial u/\partial x+\partial v/\partial y; se não der zero, reveja sinais/derivadas (algo foi feito errado).
  • Pontos de estagnação: resolva o sistema linear/quadrático obtido; às vezes se reduz muito usando uma das equações.
  • Para classificar pontos: calcule a matriz jacobiana e os autovalores; autovalores reais de sinais opostos → sela; reais ambos negativos (ou positivos) → nó estável/instável; imaginários puros → centro linear (atenção: precisa estudar termos não-lineares para afirmar estabilidade não-linear).
  • Não esqueça de comentar a vorticidade — ela dá muita informação física sobre rotação local do fluido.

Resposta

\psi(x,y)=2xy+x^{2}-y^{2}+y^{3}
u(x,y)=2x-2y+3y^{2}
v(x,y)=-2x-2y
\nabla\!\cdot\mathbf{u}=\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial v}{\partial y}=0 (incompressível)
\omega_{z}(x,y)=\dfrac{\partial v}{\partial x}-\dfrac{\partial u}{\partial y}=-6y
Pontos de estagnação: (0,0) e \left(-\tfrac{4}{3},\tfrac{4}{3}\right)
Classificação: (0,0) é uma sela; \left(-\tfrac{4}{3},\tfrac{4}{3}\right) é um centro linear (autovalores puros imaginários)

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