9-40C Consider two-dimensional flow in the
-plane. What is the significance of the difference in value of stream function
from one streamline to another?
Passo 1
O enunciado pede: em um escoamento bidimensional no plano
, qual é o significado físico da diferença de valor do potencial de corrente (stream function)
entre duas linhas de corrente distintas?
Informações importantes dadas (implícitas na pergunta):
Informações importantes dadas (implícitas na pergunta):
- Estamos tratando de um escoamento bidimensional incompressível descrito por uma função escalar
. - Existem linhas de corrente (streamlines) definidas por curvas de nível
constante. - A pergunta quer o significado da diferença
entre duas dessas curvas de nível.
Passo 2
Definição útil: a função de corrente
é relacionada às componentes da velocidade do fluido por
onde
é a componente da velocidade na direção
e
a componente na direção
.
Explicando as variáveis: e
são velocidades (unidades: por exemplo
), e
tem unidades de vazão por unidade de profundidade (por exemplo
em escoamento 2D com espessura unitária). A escolha de sinal acima é convencional e garante que a equação da continuidade incompressível seja satisfeita automaticamente.
Explicando as variáveis:
Passo 3
Mostrando que
é constante ao longo de uma linha de corrente: se uma partícula move-se com velocidade
, a derivada material de
é
Substituindo
e
pelas expressões em termos de
obtemos
Portanto
é constante ao longo das trajetórias das partículas (ou seja, ao longo das streamlines). Faz sentido: cada linha de corrente é uma curva de nível de
.
Passo 4
Conexão com vazão (fluxo) entre linhas de corrente — resultado central: a diferença de
entre duas linhas de corrente mede a vazão volumétrica por unidade de espessura que passa entre elas. Vou derivar isso de forma direta e elementar. Seja uma curva
que une um ponto sobre a linha de corrente
a um ponto sobre a linha de corrente
. Considere a integral ao longo de
Usando
e
temos identicamente
Integrando ao longo de
dá
Agora interpretar fisicamente a integral
: essa integral é exatamente a vazão (por unidade de profundidade, no caso 2D) que atravessa a curva
orientada de um extremo ao outro — pode-se ver isso reconhecendo que o elemento normal e diferencial de comprimento dão lugar a essa combinação
. Assim concluímos que
Passo 5
Interpretação prática e sinais:
- O valor absoluto
é a magnitude da vazão entre as duas linhas de corrente (unidades: por exemplo em 2D por unidade de profundidade). - O sinal de
indica a orientação do fluxo relativo à escolha da orientação na integral (ou, dito de outro modo, mostra em que direção a vazão entre as curvas é considerada positiva). Em geral basta usar a diferença no sentido em que se quer medir o fluxo.
Passo 6
Exemplo simples para fixar: escoamento uniforme horizontal com
e
. Uma escolha de
é
Duas linhas de corrente horizontais em
e
têm valores
e
. A diferença é
que é exatamente a vazão por unidade de profundidade atravessando a faixa entre
e
(velocidade
vezes distância vertical
). Se
e a separação é
, a vazão por unidade de profundidade é
.
Passo 7
Resumo didático rápido (pra lembrar na prova):
- Linhas de corrente = curvas
constante. - Fórmulas:
, . - Diferença
= vazão volumétrica por unidade de profundidade que atravessa qualquer curva que una as duas linhas de corrente; o sinal indica direção.
Animação final: pense emcomo um “mapa de níveis” onde cada degrau entre curvas representa uma certa quantidade de fluxo passando — igual a contar quantos litros por segundo passam entre dois degraus.
Resposta
A diferença
entre duas linhas de corrente é igual à vazão volumétrica por unidade de profundidade (fluxo) que atravessa qualquer curva que una essas linhas; o sinal da diferença indica a orientação desse fluxo.