9-40C Consider two-dimensional flow in the x y-plane. What is the significance of the difference in value of stream function \psi from one streamline to another?

Passo 1

O enunciado pede: em um escoamento bidimensional no plano x y, qual é o significado físico da diferença de valor do potencial de corrente (stream function) \psi entre duas linhas de corrente distintas?
Informações importantes dadas (implícitas na pergunta):
  • Estamos tratando de um escoamento bidimensional incompressível descrito por uma função escalar \psi(x,y).
  • Existem linhas de corrente (streamlines) definidas por curvas de nível \psi= constante.
  • A pergunta quer o significado da diferença \psi_2-\psi_1 entre duas dessas curvas de nível.

Passo 2

Definição útil: a função de corrente \psi(x,y) é relacionada às componentes da velocidade do fluido por
u=\frac{\partial \psi}{\partial y},\qquad v=-\frac{\partial \psi}{\partial x},
onde u é a componente da velocidade na direção x e v a componente na direção y.
Explicando as variáveis: u=u(x,y) e v=v(x,y) são velocidades (unidades: por exemplo \mathrm{m/s}), e \psi(x,y) tem unidades de vazão por unidade de profundidade (por exemplo \mathrm{m^2/s} em escoamento 2D com espessura unitária). A escolha de sinal acima é convencional e garante que a equação da continuidade incompressível seja satisfeita automaticamente.

Passo 3

Mostrando que \psi é constante ao longo de uma linha de corrente: se uma partícula move-se com velocidade \mathbf{v}=(u,v), a derivada material de \psi é
\frac{d\psi}{dt}=u\frac{\partial \psi}{\partial x}+v\frac{\partial \psi}{\partial y}.
Substituindo u e v pelas expressões em termos de \psi obtemos
\frac{d\psi}{dt}=\frac{\partial \psi}{\partial y}\frac{\partial \psi}{\partial x}-\frac{\partial \psi}{\partial x}\frac{\partial \psi}{\partial y}=0.
Portanto \psi é constante ao longo das trajetórias das partículas (ou seja, ao longo das streamlines). Faz sentido: cada linha de corrente é uma curva de nível de \psi.

Passo 4

Conexão com vazão (fluxo) entre linhas de corrente — resultado central: a diferença de \psi entre duas linhas de corrente mede a vazão volumétrica por unidade de espessura que passa entre elas. Vou derivar isso de forma direta e elementar. Seja uma curva C que une um ponto sobre a linha de corrente \psi_1 a um ponto sobre a linha de corrente \psi_2. Considere a integral ao longo de C
\int_{C}\bigl(u\,dy - v\,dx\bigr).
Usando u=\partial\psi/\partial y e v=-\partial\psi/\partial x temos identicamente
u\,dy - v\,dx = \frac{\partial\psi}{\partial y}\,dy + \frac{\partial\psi}{\partial x}\,dx = d\psi.
Integrando ao longo de C
\int_{C}\bigl(u\,dy - v\,dx\bigr)=\int_{C} d\psi = \psi_2-\psi_1.
Agora interpretar fisicamente a integral \int_{C}(u\,dy - v\,dx): essa integral é exatamente a vazão (por unidade de profundidade, no caso 2D) que atravessa a curva C orientada de um extremo ao outro — pode-se ver isso reconhecendo que o elemento normal e diferencial de comprimento dão lugar a essa combinação u\,dy - v\,dx. Assim concluímos que
\psi_2-\psi_1=\text{vazão volumétrica por unidade de profundidade que atravessa qualquer curva que una as duas linhas de corrente.}ãé

Passo 5

Interpretação prática e sinais:
  • O valor absoluto |\psi_2-\psi_1| é a magnitude da vazão entre as duas linhas de corrente (unidades: por exemplo \mathrm{m^2/s} em 2D por unidade de profundidade).
  • O sinal de \psi_2-\psi_1 indica a orientação do fluxo relativo à escolha da orientação na integral (ou, dito de outro modo, mostra em que direção a vazão entre as curvas é considerada positiva). Em geral basta usar a diferença no sentido em que se quer medir o fluxo.

Passo 6

Exemplo simples para fixar: escoamento uniforme horizontal com u=U e v=0. Uma escolha de \psi é
\psi=U y.
Duas linhas de corrente horizontais em y=y_1 e y=y_2 têm valores \psi_1=U y_1 e \psi_2=U y_2. A diferença é
\psi_2-\psi_1=U(y_2-y_1),
que é exatamente a vazão por unidade de profundidade atravessando a faixa entre y_1 e y_2 (velocidade U vezes distância vertical y_2-y_1). Se U=2\\ \mathrm{m/s} e a separação é 0,5\\ \mathrm{m}, a vazão por unidade de profundidade é 1\\ \mathrm{m^2/s}.

Passo 7

Resumo didático rápido (pra lembrar na prova):
  • Linhas de corrente = curvas \psi= constante.
  • Fórmulas: u=\partial\psi/\partial y, v=-\partial\psi/\partial x.
  • Diferença \psi_2-\psi_1 = vazão volumétrica por unidade de profundidade que atravessa qualquer curva que una as duas linhas de corrente; o sinal indica direção.
    Animação final: pense em \psi como um “mapa de níveis” onde cada degrau entre curvas representa uma certa quantidade de fluxo passando — igual a contar quantos litros por segundo passam entre dois degraus.

Resposta

A diferença \psi_2-\psi_1 entre duas linhas de corrente é igual à vazão volumétrica por unidade de profundidade (fluxo) que atravessa qualquer curva que una essas linhas; o sinal da diferença indica a orientação desse fluxo.

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