3a) Considere que k é um instante de tempo. A equação em seguida representa um modelo que descreve como a variável y, no instante k, depende de valores passados (anteriores ao instante k) de x e da própria variável y.
y_{k}=A \cdot y_{k-1}+B \cdot x_{k-1}+C \cdot x_{k-2}
y_{k} é o valor de y em k.
y_{k-1} é o valor de y em k-1.
x_{k-1} é o valor de x em k-1.
x_{k-2} é o valor de x em k-2.
A seguinte tabela de dados está disponível:
k y_{k} x_{k}
1 2.5 0.8
2 2.3 1.3
3 3.4 1.9
4 1.2 2.2
De acordo com a tabela dada, tem-se que, por exemplo, em k=1 y=2.5 e x=0.8.
Sabe-se que x_{0}=0.6.
A partir dos dados fornecidos e da equação I , determine os parâmetros A, B e C.

Passo 1

O enunciado dá um modelo ARX de ordem 2 em y e 2 em x, dado por
y_{k}=A\,y_{k-1}+B\,x_{k-1}+C\,x_{k-2},
e fornece os dados \;y_{1}=2,5,\;y_{2}=2,3,\;y_{3}=3,4,\;y_{4}=1,2, \;x_{0}=0,6,\;x_{1}=0,8,\;x_{2}=1,3,\;x_{3}=1,9,\;x_{4}=2,2.
Queremos determinar os parâmetros A, B e C montando um sistema linear a partir de k=2,3,4.

Passo 2

Para cada k de 2 a 4 aplicamos
y_{k}=A\,y_{k-1}+B\,x_{k-1}+C\,x_{k-2}.
Assim obtemos as três equações:
2,3 = A\cdot2,5 \;+\;B\cdot0,8 \;+\;C\cdot0,6
3,4 = A\cdot2,3 \;+\;B\cdot1,3 \;+\;C\cdot0,8
1,2 = A\cdot3,4 \;+\;B\cdot1,9 \;+\;C\cdot1,3

Passo 3

Da primeira equação isolamos A:
A = \frac{2,3 - 0,8B - 0,6C}{2,5}.
Substituindo em segunda e terceira equações e multiplicando ambos os lados por 2,5, chega-se ao sistema em B e C:
1,41\,B \;+\;0,62\,C = 3,21
2,03\,B \;+\;1,21\,C = -4,82

Passo 4

Resolvendo esse sistema por eliminação (por exemplo, multiplicando a primeira equação por -1,21 e a segunda por 0,62 e somando), encontra-se
B \approx 15,36, \quad C \approx -29,75.

Passo 5

Finalmente, voltando à expressão de A:
A = \frac{2,3 - 0,8\cdot15,36 - 0,6\cdot(-29,75)}{2,5} \approx 3,14.

Resposta

A \approx 3,14,\quad B \approx 15,36,\quad C \approx -29,75.

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