Reduza à forma polar ou forma trigonométrica cada um dos números complexos dados:
(\frac{1+i}{1-i})^{30}

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos encontrar a forma trigonométrica de \displaystyle \biggl(\frac{1+i}{1-i}\biggr)^{30}.
O conteúdo é números complexos em forma polar e aplicação da fórmula de De Moivre.

Passo 2

Racionalizamos a fração interna para ver que número complexo ela representa:
\frac{1+i}{1-i} =\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} =\frac{(1+i)^2}{1 - i^2} =\frac{1 + 2i + i^2}{2} =\frac{2i}{2} =i.

Passo 3

Agora escrevemos i em forma trigonométrica. Como o módulo de i é 1 e seu argumento é \tfrac{\pi}{2}, temos
i = \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) + i\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr).

Passo 4

Aplicando De Moivre para elevar ao expoente 30:
i^{30} =\bigl(\cos(\tfrac{\pi}{2}) + i\sin(\tfrac{\pi}{2})\bigr)^{30} =\cos\bigl(30\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr) + i\sin\bigl(30\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr) =\cos(15\pi) + i\sin(15\pi).
Como 15\pi = 7\cdot2\pi + \pi, segue \cos(15\pi)=\cos\pi=-1 e \sin(15\pi)=\sin\pi=0.

Resposta

-1, que em forma trigonométrica é
1\bigl(\cos\pi + i\sin\pi\bigr).

Exercícios relacionados