8.3D Passe para forma cartesiana F(x, y)=0 e esboce o gráfico de cada curva abaixo:
(l) r=1 / theta

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r=1theta
e pede (i) a forma cartesiana F(x,y)=0 e (ii) o esboço dessa curva. Para converter, vamos usar as relações entre coordenadas polares e cartesianas:
r=raizx^2+y^2 e theta=arctan!l(tfracyxr).

Passo 2

Substituindo as expressões de r e theta na equação polar, obtemos
raizx^2+y^2 ;=;1arctan!l(tfracyxr)

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por arctan!l(tfracyxr) e levando tudo para um só membro, chega-se à forma
raizx^2+y^2,arctan!l(tfracyxr)-1=0
Portanto, podemos definir
F(x,y)=raizx^2+y^2,arctan!l(tfracyxr)-1,
e a curva é dada por
F(x,y)=0

Passo 4

Essa curva é a chamada espiral hiperbólica (ou espiral reciproca). À medida que thetato0^+, r=1/thetato+infty, logo o ramo parte muito longe do eixo x positivo. Conforme theta cresce, r diminui e a curva vai dando voltas em torno da origem, aproximando-se cada vez mais dela sem nunca alcançá-la. No plano xy, o esboço é um traçado em espiral que começa quase no infinito junto ao eixo positivo x e entra girando no sentido anti-horário em direção à origem.

Resposta

F(x,y)=raizx^2+y^2,arctan!l(tfracyxr)-1=0
O esboço é uma espiral que parte de rtoinfty para thetato0^+ e se aproxima da origem enquanto faz voltas anti-horárias.

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