8.3D Passe para forma cartesiana
e esboce o gráfico de cada curva abaixo:
(l)
(l)
Passo 1
O enunciado dá a curva em coordenadas polares
e pede (i) a forma cartesiana
e (ii) o esboço dessa curva. Para converter, vamos usar as relações entre coordenadas polares e cartesianas:
e
.
Passo 2
Substituindo as expressões de
e
na equação polar, obtemos
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
e levando tudo para um só membro, chega-se à forma
Portanto, podemos definir
e a curva é dada por
Passo 4
Essa curva é a chamada espiral hiperbólica (ou espiral reciproca). À medida que
,
, logo o ramo parte muito longe do eixo
positivo. Conforme
cresce,
diminui e a curva vai dando voltas em torno da origem, aproximando-se cada vez mais dela sem nunca alcançá-la. No plano
, o esboço é um traçado em espiral que começa quase no infinito junto ao eixo positivo
e entra girando no sentido anti-horário em direção à origem.
Resposta
O esboço é uma espiral que parte de
para
e se aproxima da origem enquanto faz voltas anti-horárias.