Construir um esboço gráfico de uma curva contínua , sabendo-se que
0 1 2 3 0 2 0 -2 3 0 não existe -3 0 -1 não existe 0

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma função contínua f com quatro pontos notáveis:
c|cccc x & 0 & 1 & 2 & 3hline f(x) & 0 & 2 & 0 & -2 f'(x) & 3 & 0 & não existe & -3 f''(x)&0 & -1 & não existe&0 ãã
Conteúdo: esboço de curva usando informações de valor, derivada e segunda derivada para determinar monotonicidade, extremos, concavidade e eventuais pontos angulosos ou de inflexão.

Passo 2

Marcar no plano os pontos (0,0), (1,2), (2,0) e (3,-2). Em cada um deles desenhar a reta tangente aproximada:
  • Em x=0: f'(0)=3 to reta subindo com inclinação 3.
  • Em x=1: f'(1)=0 to tangente horizontal, indicando potencial máximo.
  • Em x=2: f' não existe to há um ponto anguloso ou cusp.
  • Em x=3: f'(3)=-3 to reta decrescente com inclinação -3.

Passo 3

Determinar monotonicidade em cada intervalo:
  • Para 0<x<1, f'(x)>0 (passa de 3 a 0) to f cresce.
  • Para 1<x<2, f' vai de 0 a um valor indefinido mas muda de sinal para negativo depois de 2to f decresce.
  • Para 2<x<3, f'(x)<0 (chega a -3) to f também decresce.
Logo em x=1 temos um máximo local.

Passo 4

Analisar concavidade:
  • Em x=0, f''(0)=0 sugere mudança de concavidade ali.
  • Em x=1, f''(1)=-1<0 to curva côncava para baixo justo em x=1.
  • Em x=2, f'' não existe to possível ponto de inflexão cuspado.
  • Em x=3, f''(3)=0 to reta no fim sem curvar.
Assim, de 0 até pouco antes de 1 a concavidade troca de neutra para baixo, e de pouco depois de 2 até 3 a concavidade aproxima-se de neutra (quase reta).

Passo 5

Esboçar o traço contínuo unindo os pontos, respeitando:
  • Crescimento de (0,0) a (1,2) com concavidade levemente para baixo.
  • Pico horizontal em (1,2).
  • Queda de (1,2) a (2,0), ainda côncavo para baixo, formando um canto em x=2.
  • Continuação decrescente de (2,0) a (3,-2), com curvatura que se alisa até inclinação -3.

Resposta

Esboço qualitativo: aumento suave e côncavo para baixo de (0,0) até máximo em (1,2), depois decai côncavo para baixo até um canto em (2,0), e segue decrescente quase reto até (3,-2).

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