[3pt]. Dada a função f(x)=\ln \left(1-x^{2}\right)
(a) Determine o domínio.
(b) Calcule as derivadas de 1a e 2a ordem.
(c) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos locais.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\ln\!\bigl(1-x^{2}\bigr) e pede três coisas:
(a) determinar o domínio de f;
(b) calcular as derivadas de primeira e segunda ordem, isto é f'(x) e f''(x);
(c) determinar os intervalos de crescimento e decrescimento e localizar máximos e mínimos locais (se existirem).
Informações relevantes dadas: a expressão explícita da função é \ln\!\bigl(1-x^{2}\bigr). Não há outras condições extras. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Encontrar o domínio: como f é um logaritmo natural, o argumento deve ser estritamente positivo. Logo precisamos resolver a desigualdade
1-x^{2}>0.
Vou resolver passo a passo essa desigualdade. Reescrevendo:
1-x^{2}>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}<1.
A solução de x^{2}<1 é o intervalo onde |x|<1, isto é
x\in(-1,1).
Portanto o domínio de f é (-1,1).

Passo 3

Calcular f'(x) (primeira derivada). Vou usar a regra da cadeia e a derivada do logaritmo. Lembrete didático: se g(x)=\ln(u(x)) e u(x)>0, então
g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u(x)=1-x^{2}. A derivada de u é u'(x)=-2x. Aplicando a regra:
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{-2x}{1-x^{2}}.
Podemos também escrever de forma equivalente (aplicando um sinal comum)
f'(x)=\frac{2x}{x^{2}-1},
mas para análise de sinal vou usar a forma \displaystyle f'(x)=\frac{-2x}{1-x^{2}}. Observação: dentro do domínio (-1,1) temos 1-x^{2}>0, então o denominador não muda de sinal nem se anula ali; o único ponto onde f'(x)=0 é quando o numerador -2x=0, isto é x=0.

Passo 4

Calcular f''(x) (segunda derivada). Vou derivar f'(x)= -2x(1-x^{2})^{-1}. Uso a regra do produto e a regra da cadeia para a parte (1-x^{2})^{-1}.
Derivando:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-2x\bigr)\cdot(1-x^{2})^{-1} + (-2x)\cdot\frac{d}{dx}\bigl((1-x^{2})^{-1}\bigr).
Calculando termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl(-2x\bigr)=-2,
e, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl((1-x^{2})^{-1}\bigr) = -1\cdot(1-x^{2})^{-2}\cdot(-2x)=2x(1-x^{2})^{-2}.
Substituindo:
f''(x)= -2(1-x^{2})^{-1} + (-2x)\cdot\bigl(2x(1-x^{2})^{-2}\bigr).
Agrupando com denominador comum (1-x^{2})^{2}:
f''(x)=\frac{-2(1-x^{2}) -4x^{2}}{(1-x^{2})^{2}}.
Simplificando o numerador:
-2(1-x^{2}) -4x^{2} = -2 +2x^{2} -4x^{2} = -2 -2x^{2} = -2(1+x^{2}).
Portanto
f''(x)=\frac{-2(1+x^{2})}{(1-x^{2})^{2}}.

Passo 5

Analisar o sinal de f''(x) e interpretação: observe que para todo x\in(-1,1) temos 1+x^{2}>0 e (1-x^{2})^{2}>0. Assim o numerador -2(1+x^{2}) é sempre negativo e o denominador é sempre positivo, logo
f''(x)<0\quad\text{para todo }x\in(-1,1).
Conclusão didática: a função é côncava para baixo em todo o domínio. Isso indica que pontos críticos serão máximos locais (se houver mudança de sinal de f' de + para -) e não haverá mínimos locais pela concavidade global negativa.

Passo 6

Determinar intervalos de crescimento/decrescimento usando f'(x)=\dfrac{-2x}{1-x^{2}}.
Como já notei, no domínio (-1,1) o denominador 1-x^{2} é positivo, então o sinal de f' é o sinal de -2x, isto é o sinal oposto de x.
  • Se x<0 então -2x>0 e portanto f'(x)>0: f é crescente em (-1,0).
  • Se x>0 então -2x<0 e portanto f'(x)<0: f é decrescente em (0,1).
    No ponto x=0 temos f'(0)=0 (ponto crítico). Como f' muda de positivo para negativo em x=0, temos um máximo local em x=0. A segunda derivada negativa em x=0 confirma que é máximo.
Calcule o valor em x=0:
f(0)=\ln(1-0^{2})=\ln(1)=0.
Portanto existe um máximo local (e na verdade absoluto no domínio) em (0,\,0).
Sobre mínimos: não existem mínimos locais finitos, porque conforme x\to\pm1 (ângulos do domínio), temos 1-x^{2}\to0^{+} e \ln(1-x^{2})\to -\infty. Logo a função vai para -\infty nas bordas do domínio e não há mínimo finito.

Passo 7

Resumo final (pré-resposta): domain (-1,1); f'(x)=\dfrac{-2x}{1-x^{2}}; f''(x)=\dfrac{-2(1+x^{2})}{(1-x^{2})^{2}}; função crescente em (-1,0), decrescente em (0,1); máximo local (e absoluto) em x=0 com valor 0; sem mínimos locais.

Resposta

(a) Domínio: (-1,1)
(b) f'(x)=\dfrac{-2x}{1-x^{2}} \
f''(x)=\dfrac{-2(1+x^{2})}{(1-x^{2})^{2}}
(c) Crescimento: f é crescente em (-1,0) \
Decrescimento: f é decrescente em (0,1) \
Máximos/mínimos locais: máximo local (e absoluto no domínio) em x=0 com f(0)=0. Não há mínimos locais finitos.

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