[3pt]. Dada a função
(a) Determine o domínio.
(b) Calcule as derivadas de 1a e 2a ordem.
(c) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos locais.
(a) Determine o domínio.
(b) Calcule as derivadas de 1a e 2a ordem.
(c) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos locais.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
(a) determinar o domínio de ;
(b) calcular as derivadas de primeira e segunda ordem, isto é e
;
(c) determinar os intervalos de crescimento e decrescimento e localizar máximos e mínimos locais (se existirem).
(a) determinar o domínio de
(b) calcular as derivadas de primeira e segunda ordem, isto é
(c) determinar os intervalos de crescimento e decrescimento e localizar máximos e mínimos locais (se existirem).
Informações relevantes dadas: a expressão explícita da função é
. Não há outras condições extras. A resolução começa a seguir.
Passo 2
Encontrar o domínio: como
é um logaritmo natural, o argumento deve ser estritamente positivo. Logo precisamos resolver a desigualdade
Vou resolver passo a passo essa desigualdade. Reescrevendo:
A solução de
é o intervalo onde
, isto é
Portanto o domínio de
é
.
Passo 3
Calcular
(primeira derivada). Vou usar a regra da cadeia e a derivada do logaritmo. Lembrete didático: se
e
, então
Aqui
. A derivada de
é
. Aplicando a regra:
Podemos também escrever de forma equivalente (aplicando um sinal comum)
mas para análise de sinal vou usar a forma
. Observação: dentro do domínio
temos
, então o denominador não muda de sinal nem se anula ali; o único ponto onde
é quando o numerador
, isto é
.
Passo 4
Calcular
(segunda derivada). Vou derivar
. Uso a regra do produto e a regra da cadeia para a parte
.
Derivando:
Calculando termo a termo:
e, pela regra da cadeia,
Substituindo:
Agrupando com denominador comum
:
Simplificando o numerador:
Portanto
Passo 5
Analisar o sinal de
e interpretação: observe que para todo
temos
e
. Assim o numerador
é sempre negativo e o denominador é sempre positivo, logo
Conclusão didática: a função é côncava para baixo em todo o domínio. Isso indica que pontos críticos serão máximos locais (se houver mudança de sinal de
de + para -) e não haverá mínimos locais pela concavidade global negativa.
Passo 6
Determinar intervalos de crescimento/decrescimento usando
.
Como já notei, no domínio o denominador
é positivo, então o sinal de
é o sinal de
, isto é o sinal oposto de
.
Como já notei, no domínio
- Se
então e portanto : é crescente em . - Se
então e portanto : é decrescente em .
No pontotemos (ponto crítico). Como muda de positivo para negativo em , temos um máximo local em . A segunda derivada negativa em confirma que é máximo.
Calcule o valor em
:
Portanto existe um máximo local (e na verdade absoluto no domínio) em
.
Sobre mínimos: não existem mínimos locais finitos, porque conforme
(ângulos do domínio), temos
e
. Logo a função vai para
nas bordas do domínio e não há mínimo finito.
Passo 7
Resumo final (pré-resposta): domain
;
;
; função crescente em
, decrescente em
; máximo local (e absoluto) em
com valor
; sem mínimos locais.
Resposta
(a) Domínio:
(b)
\
(c) Crescimento:
é crescente em
\
Decrescimento: é decrescente em
\
Máximos/mínimos locais: máximo local (e absoluto no domínio) em com
. Não há mínimos locais finitos.
Decrescimento:
Máximos/mínimos locais: máximo local (e absoluto no domínio) em