(3pts) Calcule \left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ -1 & 2\end{array}\right)^{10}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a décima potência da matriz
M = \begin{pmatrix}2 & -1 \\[6pt] -1 & 2\end{pmatrix}.
O conteúdo que vamos usar é diagonalização de matrizes: encontraremos os autovalores e autovetores de M, escreveremos M = P\,D\,P^{-1} com D diagonal, e então usaremos
M^{10} = P\,D^{10}\,P^{-1}.]

Passo 2

Calcular os autovalores de M resolvendo
\det(M - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}2-\lambda & -1 \\[3pt] -1 & 2-\lambda\end{pmatrix} = (2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0.
As raízes são \lambda_1 = 1 e \lambda_2 = 3.]

Passo 3

Encontrar um autovetor para cada autovalor:
  • Para \lambda_2 = 3, resolvemos (M-3I)x=0, isto é
\begin{pmatrix}-1 & -1 \\[3pt] -1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\\ x_2\end{pmatrix}=0 \;\Longrightarrow\; x_1 + x_2 = 0.
Podemos escolher v_2 = \begin{pmatrix}1\\\\ -1\end{pmatrix}.
  • Para \lambda_1 = 1, resolvemos (M-I)x=0, isto é
\begin{pmatrix}1 & -1 \\[3pt] -1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\\ x_2\end{pmatrix}=0 \;\Longrightarrow\; x_1 - x_2 = 0.
Podemos escolher v_1 = \begin{pmatrix}1\\\\ 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Formamos a matriz de passagem P usando como colunas os autovetores v_2,v_1 (na ordem \lambda_2,\lambda_1):
P = \begin{pmatrix}1 & 1\\[3pt] -1 & 1\end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix}3 & 0\\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
O inverso de P é
P^{-1} = \frac12 \begin{pmatrix}1 & -1\\[3pt] 1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Usamos M = P\,D\,P^{-1} para obter
M^{10} = P\,D^{10}\,P^{-1} = P \begin{pmatrix}3^{10} & 0\\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix} P^{-1}.
Como 3^{10}=59049, temos
D^{10} = \begin{pmatrix}59049 & 0\\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Fazendo a multiplicação,
M^{10} = \frac12 \begin{pmatrix}1 & 1\\[3pt] -1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}59049 & 0\\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & -1\\[3pt] 1 & 1\end{pmatrix} = \frac12 \begin{pmatrix}59049+1 & -59049+1\\[3pt] -59049+1 & 59049+1\end{pmatrix}.
Simplificando os termos:
59049 + 1 = 59050, \quad -59049 + 1 = -59048,
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M^{10} = \begin{pmatrix}29525 & -29524\\[3pt] -29524 & 29525\end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix}2 & -1 \\[3pt] -1 & 2\end{pmatrix}^{10} = \begin{pmatrix}29525 & -29524 \\[3pt] -29524 & 29525\end{pmatrix}.]

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