Considere T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} dada por T(x, y, x)=(x,-x+2 y+3 z, z).
(a) (1pt) Determine a matriz de T na base canônica.
(b) (1pts) Determine os autovalores.
(c) (2pts) T é diagonalizavél? Se sim, exiba uma base de autovetores de T

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 por
T(x,y,z) = (\,x,\,-x+2y+3z,\,z).
Vamos (a) encontrar a matriz de T na base canônica, (b) calcular seus autovalores resolvendo o polinômio característico, e (c) verificar se T é diagonalizável, exibindo uma base de autovetores caso afirmativo.

Passo 2

Para achar a matriz de T na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, aplicamos T em cada vetor canônico:
T(e_1)=T(1,0,0)=(1,\,-1,\,0),
T(e_2)=T(0,1,0)=(0,\,2,\,0),
T(e_3)=T(0,0,1)=(0,\,3,\,1).
Portanto, a matriz de T é
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -1 & 2 & 3\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

O polinômio característico de A vem de \det(A-\lambda I). Como A é triangular por blocos,
\det(A-\lambda I) =(1-\lambda)\,\det\!\begin{pmatrix}2-\lambda&3\\\ 0&1-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)^2(2-\lambda).
Logo os autovalores são
\lambda_1 = 1\quad(\text{multiplicidade algébrica }2), \qquad \lambda_2 = 2\quad(\text{multiplicidade algébrica }1).éé

Passo 4

Para \lambda=1 resolvemos (A-I)v=0, ou seja
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ -1&1&3\\\\ 0&0&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0 \quad\Longrightarrow\quad -x+y+3z=0\;\Longrightarrow\;x=y+3z.
Duas variáveis livres y,z, dimensão do espaço próprio é 2. Podemos escolher
y=1,\;z=0\;\mapsto\;v_1=(1,1,0), \qquad y=0,\;z=1\;\mapsto\;v_2=(3,0,1).
Para \lambda=2 resolvemos (A-2I)v=0:
\begin{pmatrix} -1&0&0\\\\ -1&0&3\\\\ 0&0&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; x=0,\;z=0,\;y\;\text{livre}.
Assim escolhemos y=1 e obtemos
v_3=(0,1,0).
Temos 3 autovetores linearmente independentes, logo T é diagonalizável.

Resposta

(a) A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -1 & 2 & 3\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
(b) Os autovalores são \lambda=1 (mult.\ alg.\ 2) e \lambda=2 (mult.\ alg.\ 1).
(c) Sim. Uma base de autovetores é
\{(1,1,0),\;(3,0,1),\;(0,1,0)\},
onde os dois primeiros correspondem a \lambda=1 e o último a \lambda=2.

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