Considere T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} dada por T(x, y, x)=(x,-x+2 y+3 z, z).
(a) (1pt) Determine a matriz de T na base canônica.
(b) (1pts) Determine os autovalores.
(c) (2pts) T é diagonalizavél? Se sim, exiba uma base de autovetores de T
Passo 1
O enunciado define a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 por
T(x,y,z) = (\,x,\,-x+2y+3z,\,z).
Vamos (a) encontrar a matriz de T na base canônica, (b) calcular seus autovalores resolvendo o polinômio característico, e (c) verificar se T é diagonalizável, exibindo uma base de autovetores caso afirmativo.
Passo 2
Para achar a matriz de T na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, aplicamos T em cada vetor canônico: