(2pts) Seja A \in M_{2}(\mathbb{R}) uma matriz simétrica. Mostre que A é diagonalizavel.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que toda matriz real simétrica de ordem 2, ou seja,
A = \begin{pmatrix} a & b\\\ b & d \end{pmatrix},\quad a,b,d\in \mathbb{R},
é diagonalizável. Vamos usar a teoria de autovalores e autovetores: calcular o polinômio característico de A, mostrar que tem raízes reais e, em seguida, verificar que em cada caso obtemos dois autovetores linearmente independentes.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico de A:
p(\lambda)=\det(A - \lambda I) =\det\begin{pmatrix} a-\lambda & b\\\ b & d-\lambda \end{pmatrix} =(a-\lambda)(d-\lambda)-b^2.
Expandindo,
p(\lambda)=\lambda^2 - (a+d)\,\lambda + (ad - b^2).
O discriminante dessa quadrática é
\Delta = (a+d)^2 - 4(ad - b^2) = a^2 + 2ad + d^2 -4ad +4b^2 = (a-d)^2 + 4b^2 \;\ge0.
Logo, as duas raízes \lambda_1 e \lambda_2 são reais.

Passo 3

Se \Delta>0, então \lambda_1\neq \lambda_2. Cada autovalor distinto de uma matriz real de ordem 2 tem um autovetor não nulo associado, e autovetores correspondentes a autovalores diferentes são linearmente independentes. Assim, obtemos dois autovetores independentes, que formam uma base de \mathbb{R}^2. Logo, A é diagonalizável neste caso.

Passo 4

Se \Delta=0, então (a-d)^2 +4b^2=0. Como soma de quadrados só pode ser zero se cada um for zero, temos a-d=0 e b=0. Portanto
A=\begin{pmatrix}a&0\\\ 0&a\end{pmatrix}=a\,I,
que já está em forma diagonal. Nesse caso trivial também A é diagonalizável.

Resposta

Concluímos que, em qualquer das situações, a matriz A é diagonalizável.

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