(2pts) Seja
uma matriz simétrica. Mostre que
é diagonalizavel.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que toda matriz real simétrica de ordem
, ou seja,
é diagonalizável. Vamos usar a teoria de autovalores e autovetores: calcular o polinômio característico de
, mostrar que tem raízes reais e, em seguida, verificar que em cada caso obtemos dois autovetores linearmente independentes.
Passo 2
Calculemos o polinômio característico de
:
Expandindo,
O discriminante dessa quadrática é
Logo, as duas raízes
e
são reais.
Passo 3
Se
, então
. Cada autovalor distinto de uma matriz real de ordem
tem um autovetor não nulo associado, e autovetores correspondentes a autovalores diferentes são linearmente independentes. Assim, obtemos dois autovetores independentes, que formam uma base de
. Logo,
é diagonalizável neste caso.
Passo 4
Se
, então
. Como soma de quadrados só pode ser zero se cada um for zero, temos
e
. Portanto
que já está em forma diagonal. Nesse caso trivial também
é diagonalizável.
Resposta
Concluímos que, em qualquer das situações, a matriz
é diagonalizável.