[3pts] As reações nos apoios da ponte são \vec{F}_{A}=400 \hat{\imath}+350 \hat{\jmath} \mathrm{kN} e \vec{F}_{G}=-500 \hat{\imath} \mathrm{kN}. (Resposta da Questão 1)
Usando o corte sugerido e \boldsymbol{B} como referência, determine a força nos membros \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}, \boldsymbol{B} \boldsymbol{E}, \boldsymbol{C D};
Diga se são de tensão ou compressão. Obrigatório: método das seções e diagrama de corpo livre da seção escolhida.
Dicas: o membro \boldsymbol{B} \boldsymbol{D} é de força zero. A seção à esquerda do corte é mais simples.

Passo 1

O enunciado pede: usando o método das seções e tomando o nó (ou ponto de referência) \boldsymbol{B} como referência, determinar as forças nos membros \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}, \boldsymbol{B}\boldsymbol{E} e \boldsymbol{C}\boldsymbol{D} e dizer se cada um está em tensão ou compressão. Foi dada a informação das reações nos apoios:
\vec{F}_{A}=400\hat{\imath}+350\hat{\jmath}\\ \text{kN}
\vec{F}_{G}=-500\hat{\imath}\\ \text{kN}
Também é dada a dica de que \boldsymbol{B}\boldsymbol{D} tem força zero e que a seção à esquerda do corte é mais simples.
Informações que faltam (e que são necessárias para obter valores numéricos): a figura/diagrama da treliça (geometria: posições ou coordenadas dos nós, comprimentos dos membros, inclinações/ângulos dos membros), a localização e intensidade de quaisquer cargas externas além das reações, e qual corte foi sugerido (linha do corte). Sem esses dados geométricos e de carregamento não é possível calcular numericamente as componentes e momentos necessários para obter as forças nos membros. Portanto não posso fornecer os valores numéricos finais nem o diagrama de corpo livre numérico da seção cortada até que a figura/essas informações sejam fornecidas.

Passo 2

Explicação didática do método das seções (o que é e por que usar):\n
O método das seções serve para determinar forças em membros internos de uma treliça cortando a treliça por uma “seção imaginária” que atravessa até três membros incógnitos. Ao isolar uma das partes da treliça (esquerda ou direita do corte) e escrever as equações de equilíbrio estático para essa parte, conseguimos resolver até três incógnitas (porque num corpo plano temos três equações independentes: \sum F_x=0, \sum F_y=0 e \sum M=0). Dica prática: escolha a parte do corte que torna a soma de forças/pares mais simples (aqui a dica do enunciado diz que a seção à esquerda é mais simples).
Conceitos básicos que vamos usar:
\sum F_x = 0
\sum F_y = 0
\sum M_O = 0
onde O é um ponto escolhido para momentos (escolha um ponto que anule o máximo de incógnitas por ter linhas de ação passando por ele).
Como assumir o sentido dos membros:
  • Assumimos cada força de membro como axial, dirigida ao longo do membro.
  • Convenção prática: assuma que a força do membro atua afastando do nó da porção isolada (ou seja, “puxando” a porção isolada). Se a solução vier negativa, o membro está em compressão; se for positiva, está em tensão (ou vice-versa dependendo da convenção — vou usar: sinal positivo \Rightarrow tensão, sinal negativo \Rightarrow compressão, assumindo referência para cada força “afastando” da porção isolada).

Passo 3

Como montar o Diagrama de Corpo Livre (DCL) da seção escolhida — descrição passo a passo (já que não posso desenhar a figura aqui):\n
  1. Escolha a seção que corta os membros \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}, \boldsymbol{B}\boldsymbol{E}, \boldsymbol{C}\boldsymbol{D} (ou outra combinação conforme o corte sugerido). Corte a treliça e escolha a metade (esquerda, conforme dica) para isolar.\n
  2. No DCL da parte isolada, represente:
    • As reações conhecidas em \boldsymbol{A} e \boldsymbol{G} (se a parte isolada inclui ambos os apoios) com suas componentes: \,400\hat{\imath}+350\hat{\jmath} em A e -500\hat{\imath} em G (essas foram fornecidas).
    • As forças internas desconhecidas nos membros cortados ( F_{AB},\,F_{BE},\,F_{CD}). Para cada membro cortado, desenhe uma força axial aplicada no local do corte, apontando ao longo da direção do membro. Assuma sentido inicial (por exemplo, todas apontando para fora da porção isolada — isto é, supondo tensão). Em seguida, decomponha cada uma nas componentes horizontal e vertical usando os ângulos/declives dos membros.\n
  3. Anote todas as cargas externas aplicadas à parte isolada (se houver cargas distribuídas ou concentradas) — mas aqui tais cargas não foram informadas.

Passo 4

Escrever as equações de equilíbrio gerais para a seção (forma simbólica) — este é o “esqueleto” algébrico que se usa na prova. Vou colocar as equações em forma genérica, usando ângulos para cada membro porque os comprimentos/ângulos não foram fornecidos.\n
Defina incógnitas (assumindo convenções):
F_{AB},\quad F_{BE},\quad F_{CD}
Defina os ângulos que cada membro faz com a horizontal (estes vieram da geometria da treliça; denoto-os por):
\theta_{AB},\quad \theta_{BE},\quad \theta_{CD}
Agora as três equações de equilíbrio (para a porção isolada) ficam assim, em forma geral:
Equilíbrio horizontal:
\sum F_x = 0: \qquad F_{AB}\cos\theta_{AB} + F_{BE}\cos\theta_{BE} + F_{CD}\cos\theta_{CD} + (\text{componentes }x\text{ das reações e cargas}) = 0çõ
Equilíbrio vertical:
\sum F_y = 0: \qquad F_{AB}\sin\theta_{AB} + F_{BE}\sin\theta_{BE} + F_{CD}\sin\theta_{CD} + (\text{componentes }y\text{ das reações e cargas}) = 0çõ
Equilíbrio de momentos (escolha um ponto estratégico, por exemplo o nó B se conveniente):
\sum M_{B} = 0: \qquad F_{AB}\,d_{AB\_B} + F_{BE}\,d_{BE\_B} + F_{CD}\,d_{CD\_B} + (\text{momentos das reações e cargas em relação a }B)=0çõçã
onde d_{\_\_} são os braços perpendiculares (distâncias) das linhas de ação dos membros cortados até o ponto B. Observação: se a linha de ação de algum membro passar por B, o braço correspondente é zero, o que simplifica as equações.
Comentário importante: com as três equações acima (essas são as três equações estáticas independentes) você pode resolver as três incógnitas F_{AB},F_{BE},F_{CD} desde que conheça:
  • as componentes das reações/cargas,
  • os ângulos \theta_{ij} (para decompor em x,y),
  • e/ou os braços d_{\cdot} (para a equação de momento).
Sem os valores geométricos concretos não é possível passar das equações simbólicas para valores numéricos.

Passo 5

Estratégia prática de resolução (ordem a seguir na prova, para ganhar tempo):\n
  1. Escolha o lado da seção que resulta em menos forças externas desconhecidas; isole esse lado. Segundo o enunciado, a seção à esquerda é mais simples — siga essa.\n
  2. Desenhe o DCL cuidadosamente e rotule distâncias e ângulos. Identifique quais incógnitas aparecem em cada equação (por vezes um membro é vertical/horizontal e anula uma componente, facilitando a resolução).\n
  3. Use \sum M em torno de um ponto onde duas das incógnitas tenham braços nulos — assim você resolve diretamente uma incógnita com uma única equação. Em seguida use \sum F_x e \sum F_y para as outras duas.\n
  4. Ao resolver, observe o sinal de cada F: se F>0 (na convenção “apontando para fora” da porção isolada) então o membro está em tensão; se F<0 então está em compressão.\n
  5. Verifique coerência: use simetria e equilíbrio global para checar resultados (por exemplo, somas de forças horizontais e verticais da treliça inteira devem fechar).

Passo 6

Exemplo numérico ilustrativo (apenas para mostrar o procedimento com números — ATENÇÃO: estes números são ilustrativos e NÃO vêm do seu enunciado, porque a figura não foi fornecida):\n
Suponha que, ao cortar a treliça pelo lado esquerdo, os únicos membros cortados sejam AB, BE e CD, e que os ângulos sejam \theta_{AB}=30^\circ, \theta_{BE}=90^\circ (vertical), \theta_{CD}=0^\circ (horizontal), e que as reações fornecidas em A e G tenham braços bem definidos em relação a B. Você faria:
\sum M_B = 0 \Rightarrow \text{uma equação só com }F_{CD}\Rightarrow F_{CD}=\text{valor}çãó
\sum F_x = 0 \Rightarrow F_{AB}\cos30^\circ + F_{CD}\cos0^\circ + \text{(reac.x)}=0
\sum F_y = 0 \Rightarrow F_{AB}\sin30^\circ + F_{BE} + \text{(reac.y)}=0
Resolveria essas três equações sequencialmente. Depois interpretaria o sinal de cada F para tensão/compressão. Reforço: isto é um esquema de montagem, não cálculo do seu caso particular.

Passo 7

Determinação de tensão vs compressão — regra prática rápida:\n
  • Se, na sua DCL, você assumiu que F_{XY} aponta para fora da porção isolada (convenção típica), então:
    • F_{XY}>0 significa que o membro está tentando “puxar” os nós — ou seja, está em tensão.
    • F_{XY}<0 significa que, na realidade, o membro empurra para dentro — ou seja, está em compressão.
  • Alternativamente, se você assumiu que as forças apontam para dentro, inverta a interpretação do sinal. O importante é fixar a convenção no início e gerar a interpretação consistente ao final.

Passo 8

Resumo do que falta para eu resolver numericamente e finalizar com valores e indicar tensão/compressão:\n
Para obter os valores concretos de F_{AB},\,F_{BE},\,F_{CD} e dizer com certeza se são tensão ou compressão, preciso que você forneça (qualquer uma das opções abaixo basta, mas preferível: a figura completa):
  • A figura da treliça (diagrama) com nós rotulados e dimensões/ângulos, ou
  • As coordenadas dos nós envolvidos (pelo menos das extremidades dos membros cortados e dos apoios), e a posição das cargas externas além das reações (se houver), ou
  • A descrição precisa do corte sugerido (que membros são cortados), juntamente com os comprimentos/ângulos dos membros cortados e as distâncias (braços) das reações em relação ao ponto B.\n
    Se você me enviar a figura (ou os dados geométricos), eu refaço estes passos aplicando os números, mostro explicitamente o Diagrama de Corpo Livre da seção escolhida (descrito passo a passo) e calculo os valores numéricos e os sinais que indicam tensão/compressão.

Resposta

Não é possível determinar numericamente as forças em \boldsymbol{AB}, \boldsymbol{BE} e \boldsymbol{CD} nem dizer se são tensão ou compressão porque a figura/geomatria da treliça e os carregamentos (posições/ângulos/distâncias) necessários não foram fornecidos.

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