Dado os valores das componentes do estado plano de deformação, encontre os valores:
(a) das deformações principais no plano e
(b) a deformação por cisalhamento máxima no plano.
(c) Encontre também em que ângulo elas ocorrem (
).
Өp1
rotaciona para a posição de
.
Өs1
rotaciona para a posição de
máx positivo.
(a) das deformações principais no plano e
(b) a deformação por cisalhamento máxima no plano.
(c) Encontre também em que ângulo elas ocorrem (
Өp1
Өs1
Passo 1
O enunciado dá os componentes do estado plano de deformação e pede as deformações principais no plano, a deformação por cisalhamento máxima no plano e os ângulos em que elas ocorrem. Informações fornecidas (já convertidas para notação científica):
Perguntas:
(a) Encontrar as deformações principais no plano e
(com
).\n
(b) Encontrar a deformação por cisalhamento máxima no plano .\n
(c) Determinar os ângulos em que ocorrem: (rotação para a posição de
) e
(rotação para a posição de
máx positivo).
(a) Encontrar as deformações principais no plano
(b) Encontrar a deformação por cisalhamento máxima no plano
(c) Determinar os ângulos em que ocorrem:
Passo 2
Vamos apresentar as fórmulas fundamentais e explicar cada termo, devagarinho, como num passo-a-passo da prova.
Definições e conceitos:
- O valor médio (centro do círculo de Mohr para deformações) é
onde
é a média aritmética das deformações normais nas direções
e
.
- A “raio” do círculo (meia-distância entre as deformações principais) é
Aqui
é a diferença entre as deformações normais e
é a componente de cisalhamento (engenharia).
- As deformações principais são dadas por
com
sendo a maior.
- A deformação por cisalhamento máxima (engenharia) no plano é
- O ângulo
que leva o sistema para o eixo principal (onde aparece ) satisfaz
- O ângulo para a posição do cisalhamento máximo positiva é
porque as direções de máxima cisalhabilidade estão a
das direções principais.
Vou usar essas fórmulas e calcular passo a passo.
Passo 3
Calcular a média
.
Explicação curta: some as duas deformações normais e divida por 2 — é o ponto central do círculo de Mohr.
Passo 4
Calcular os termos dentro da raiz para
.
Primeiro, a metade da diferença:
Depois, metade do cisalhamento:
Agora o raio:
Pequena nota: o resultado final de
tem unidade de deformação (mesma unidade das
), aqui em
.
Passo 5
Calcular as deformações principais
e
.
Arredondando para duas casas decimais nos
:
Comentário didático: essas são as deformações ao longo dos eixos principais — nenhum cisalhamento aparece nesses eixos.
Passo 6
Calcular a deformação por cisalhamento máxima no plano
.
Arredondando:
Explicação: no círculo de Mohr a distância vertical máxima (cisalhamento) vale o diâmetro vertical, que é
.
Passo 7
Calcular o ângulo
para a posição de
.
Usamos
Calcule
.
Logo
Arredondando:
Interpretação: o ângulo é negativo porque o eixo principal de maior deformação está rotacionado no sentido horário em relação ao eixo
. Se preferir um ângulo positivo entre
e
, pode somar
ou
conforme conveniência; por exemplo
é equivalente (adição de
dá a mesma direção de eixo principal, só troca sinal do eixo perpendicular).
Passo 8
Calcular o ângulo
que leva ao cisalhamento máximo positivo.
Sabendo que as direções de cisalhamento máximo estão a
das direções principais, tomamos
Usando
,
Arredondando:
Passo 9
Verificação rápida (cheirinho de certeza): calcular
pela fórmula de transformação para
e confirmar que dá
e positivo.
A fórmula de transformação do cisalhamento é
Para
temos
. Calculando numericamente (usando os valores já obtidos),
que confirma (com pequeno arredondamento)
e é positivo — portanto
apontado acima realmente dá o cisalhamento máximo positivo.
Resposta
(a)
,
\n
(b) \n
(c) (equivalente a
),
(b)
(c)