Dado os valores das componentes do estado plano de deformação, encontre os valores:
(a) das deformações principais no plano e
(b) a deformação por cisalhamento máxima no plano.
(c) Encontre também em que ângulo elas ocorrem ( \theta \mathrm{p} 1 \mathrm{e} \theta \mathrm{s} 1 ).
\boldsymbol{\varepsilon} 1>\boldsymbol{\varepsilon} 2
Өp1 \rightarrow rotaciona para a posição de \mathcal{E} 1.
Өs1 \rightarrow rotaciona para a posição de \gamma máx positivo.
\varepsilon_{x}=90 \times 10^{-6}
\varepsilon y=150 \times 10^{-6}
\gamma x y=50 \times 10^{-6}

Passo 1

O enunciado dá os componentes do estado plano de deformação e pede as deformações principais no plano, a deformação por cisalhamento máxima no plano e os ângulos em que elas ocorrem. Informações fornecidas (já convertidas para notação científica):
\varepsilon_{x}=90\times10^{-6},\qquad \varepsilon_{y}=150\times10^{-6},\qquad \gamma_{xy}=50\times10^{-6}.
Perguntas:
(a) Encontrar as deformações principais no plano \varepsilon_{1} e \varepsilon_{2} (com \varepsilon_{1}>\varepsilon_{2}).\n
(b) Encontrar a deformação por cisalhamento máxima no plano \gamma_{\max}.\n
(c) Determinar os ângulos em que ocorrem: \theta_{p1} (rotação para a posição de \mathcal{E}_1) e \theta_{s1} (rotação para a posição de \gamma máx positivo).

Passo 2

Vamos apresentar as fórmulas fundamentais e explicar cada termo, devagarinho, como num passo-a-passo da prova.
Definições e conceitos:
  • O valor médio (centro do círculo de Mohr para deformações) é
\bar{\varepsilon}=\frac{\varepsilon_{x}+\varepsilon_{y}}{2},
onde \bar{\varepsilon} é a média aritmética das deformações normais nas direções x e y.
  • A “raio” do círculo (meia-distância entre as deformações principais) é
R=\sqrt{\left(\frac{\varepsilon_{x}-\varepsilon_{y}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\gamma_{xy}}{2}\right)^{2}}.
Aqui \varepsilon_{x}-\varepsilon_{y} é a diferença entre as deformações normais e \gamma_{xy} é a componente de cisalhamento (engenharia).
  • As deformações principais são dadas por
\varepsilon_{1,2}=\bar{\varepsilon}\pm R,
com \varepsilon_{1}=\bar{\varepsilon}+R sendo a maior.
  • A deformação por cisalhamento máxima (engenharia) no plano é
\gamma_{\max}=2R.
  • O ângulo \theta_{p} que leva o sistema x,y para o eixo principal (onde aparece \varepsilon_{1}) satisfaz
\tan 2\theta_{p}=\frac{\gamma_{xy}}{\varepsilon_{x}-\varepsilon_{y}}.
  • O ângulo para a posição do cisalhamento máximo positiva é
\theta_{s1}=\theta_{p1}+45^\circ,
porque as direções de máxima cisalhabilidade estão a 45^\circ das direções principais.
Vou usar essas fórmulas e calcular passo a passo.

Passo 3

Calcular a média \bar{\varepsilon}.
\bar{\varepsilon}=\frac{\varepsilon_{x}+\varepsilon_{y}}{2} =\frac{90\times10^{-6}+150\times10^{-6}}{2} =\frac{240\times10^{-6}}{2} =120\times10^{-6}.
Explicação curta: some as duas deformações normais e divida por 2 — é o ponto central do círculo de Mohr.

Passo 4

Calcular os termos dentro da raiz para R.
Primeiro, a metade da diferença:
\frac{\varepsilon_{x}-\varepsilon_{y}}{2}=\frac{90\times10^{-6}-150\times10^{-6}}{2}=\frac{-60\times10^{-6}}{2}=-30\times10^{-6}.
Depois, metade do cisalhamento:
\frac{\gamma_{xy}}{2}=\frac{50\times10^{-6}}{2}=25\times10^{-6}.
Agora o raio:
R=\sqrt{\left(-30\times10^{-6}\right)^{2}+\left(25\times10^{-6}\right)^{2}} =\sqrt{900\times10^{-12}+625\times10^{-12}} =\sqrt{1525\times10^{-12}}.
R=\sqrt{1525}\times10^{-6}\approx39{,}062518\times10^{-6}.
Pequena nota: o resultado final de R tem unidade de deformação (mesma unidade das \varepsilon), aqui em 10^{-6}.

Passo 5

Calcular as deformações principais \varepsilon_{1} e \varepsilon_{2}.
\varepsilon_{1}=\bar{\varepsilon}+R=120\times10^{-6}+39{,}062518\times10^{-6}=159{,}062518\times10^{-6}.
\varepsilon_{2}=\bar{\varepsilon}-R=120\times10^{-6}-39{,}062518\times10^{-6}=80{,}937482\times10^{-6}.
Arredondando para duas casas decimais nos 10^{-6}:
\varepsilon_{1}\approx159{,}06\times10^{-6},\qquad \varepsilon_{2}\approx80{,}94\times10^{-6}.
Comentário didático: essas são as deformações ao longo dos eixos principais — nenhum cisalhamento aparece nesses eixos.

Passo 6

Calcular a deformação por cisalhamento máxima no plano \gamma_{\max}.
\gamma_{\max}=2R=2\cdot39{,}062518\times10^{-6}=78{,}125036\times10^{-6}.
Arredondando:
\gamma_{\max}\approx78{,}12\times10^{-6}.
Explicação: no círculo de Mohr a distância vertical máxima (cisalhamento) vale o diâmetro vertical, que é 2R.

Passo 7

Calcular o ângulo \theta_{p1} para a posição de \mathcal{E}_{1}.
Usamos
\tan 2\theta_{p1}=\frac{\gamma_{xy}}{\varepsilon_{x}-\varepsilon_{y}} =\frac{50\times10^{-6}}{90\times10^{-6}-150\times10^{-6}} =\frac{50}{-60}=-\frac{5}{6}\approx-0{,}833333.
Calcule 2\theta_{p1}=\arctan(-0{,}833333)\approx-39{,}805571^\circ.
Logo
\theta_{p1}=\frac{1}{2}\cdot(-39{,}805571^\circ)\approx-19{,}902786^\circ.
Arredondando:
\theta_{p1}\approx-19{,}90^\circ.
Interpretação: o ângulo é negativo porque o eixo principal de maior deformação está rotacionado no sentido horário em relação ao eixo x. Se preferir um ângulo positivo entre 0^\circ e 180^\circ, pode somar 180^\circ ou 360^\circ conforme conveniência; por exemplo
\theta_{p1}\approx160{,}10^\circ
é equivalente (adição de 180^\circ dá a mesma direção de eixo principal, só troca sinal do eixo perpendicular).

Passo 8

Calcular o ângulo \theta_{s1} que leva ao cisalhamento máximo positivo.
Sabendo que as direções de cisalhamento máximo estão a 45^\circ das direções principais, tomamos
\theta_{s1}=\theta_{p1}+45^\circ.
Usando \theta_{p1}\approx-19{,}902786^\circ,
\theta_{s1}\approx-19{,}902786^\circ+45^\circ=25{,}097214^\circ.
Arredondando:
\theta_{s1}\approx25{,}10^\circ.

Passo 9

Verificação rápida (cheirinho de certeza): calcular \gamma_{x'y'} pela fórmula de transformação para \theta=\theta_{s1} e confirmar que dá \gamma_{\max} e positivo.
A fórmula de transformação do cisalhamento é
\gamma_{x'y'}=-(\varepsilon_{x}-\varepsilon_{y})\sin 2\theta+\gamma_{xy}\cos 2\theta.
Para \theta=\theta_{s1} temos 2\theta\approx50{,}194428^\circ. Calculando numericamente (usando os valores já obtidos),
\gamma_{x'y'}\approx60\times10^{-6}\cdot\sin50{,}194428^\circ+50\times10^{-6}\cdot\cos50{,}194428^\circ\approx78{,}10\times10^{-6},
que confirma (com pequeno arredondamento) \gamma_{\max}\approx78{,}12\times10^{-6} e é positivo — portanto \theta_{s1} apontado acima realmente dá o cisalhamento máximo positivo.

Resposta

(a) \varepsilon_{1}\approx159{,}06\times10^{-6}, \varepsilon_{2}\approx80{,}94\times10^{-6}\n
(b) \gamma_{\max}\approx78{,}12\times10^{-6}\n
(c) \theta_{p1}\approx-19{,}90^\circ (equivalente a 160{,}10^\circ), \theta_{s1}\approx25{,}10^\circ

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